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Perú 2016 - Nivel 2 (2da Fase) Problema 9
Publicado: Mar 13 Sep, 2016 2:42 am
por Emerson Soriano
Sean $a$, $b$, $c$ y $d$ números enteros positivos tales que $a>b>c>d$ y además$$\text{mcd}(a,b)+\text{mcd}(a,c)+\text{mcd}(a,d)=105.$$Hallar el menor valor posible de $a$.
Re: Perú 2016 - Nivel 2 (2da Fase)
Publicado: Dom 11 Feb, 2018 12:04 am
por enigma1234
- Spoiler: mostrar
- Es claro que cada uno de los sumandos es divisor de $a$ pero como $a>b>c>d$ estos sumandos deben ser menores de $a$ entonces cada sumando es máximo $\frac{a}{2}$ ahora veamos que pasa si $mcd(a,x)= \frac{a}{2}$ para algun $x<a$.
De eso es claro que de esto tenemos que $\frac{a}{2}$ divide a $x$ y como $x$ es menor que $a$ entonces necesariamente $x= \frac{a}{2}$.
De esto y como $b>c>d$ entonces en particular son diferentes y si hay 2 sumandos iguales a $\frac{a}{2}$ habrian 2 iguales a $\frac{a}{2}$ entre $b,c,d$,lo que seria una contradicción.
Entonces máximo un sumando es $\frac{a}{2}$ y los demas sumandos serian como maximo $\frac{a}{3}$ entonces:
$\text{mcd}(a, b)+\text{mcd}(a, c)+\text{mcd}(a, d)=105\leq \frac{a}{3}+\frac{a}{3}+\frac{a}{2}=\frac{7a}{6}\to 90\leq a$
Y la igualdad se da cuando $a=90,b=60,c=45,d=30$
Re: Perú 2016 - Nivel 2 (2da Fase)
Publicado: Dom 11 Feb, 2018 12:04 am
por enigma1234
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