P5 - Olimpiada Matemática Centro América y el Caribe 2016
-
Emerson Soriano
- Mensajes: 826
- Registrado: Mié 23 Jul, 2014 10:39 am
- Medallas: 6
Re: P5 - Olimpiada Matemática Centro América y el Caribe 2016
Sean $n$ y $k$ enteros positivos arbitrarios. Entonces,
$$n=\underset{k\:\text{factores}}{\underbrace{\frac{nk}{nk-1}\times \frac{nk-1}{nk-2}\times \cdots \times \frac{(n-1)k+1}{(n-1)k}}}\times \underset{(n-2)\:\text{factores}}{\underbrace{\frac{n-1}{n-2}\times \frac{n-2}{n-3}\times \cdots \times \frac{2}{1}}}.$$
Note que $n$ se puede expresar como el producto de $k+n-2$ números iríes, para todo entero positivo $k$, esto demuestra lo que pide el problema.
$$n=\underset{k\:\text{factores}}{\underbrace{\frac{nk}{nk-1}\times \frac{nk-1}{nk-2}\times \cdots \times \frac{(n-1)k+1}{(n-1)k}}}\times \underset{(n-2)\:\text{factores}}{\underbrace{\frac{n-1}{n-2}\times \frac{n-2}{n-3}\times \cdots \times \frac{2}{1}}}.$$
Note que $n$ se puede expresar como el producto de $k+n-2$ números iríes, para todo entero positivo $k$, esto demuestra lo que pide el problema.