Regional 2015 N3 P1

[Lula]

Esto puede parecer mágico pero créanme que ya vi el mismo truco en muchos problemas.

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Una vez que llegan a [math]mn + 1 = 3m + 3n, pasamos todo para la izquierda, queda [math]mn - 3m - 3n + 1 = 0. Sumo [math]8 de los dos lados y queda [math]mn - 3m - 3n + 9 = 8. Ahora la gracia es que lo que está del lado izquierdo se puede factorizar como [math](m-3)(n-3). Entonces [math]m-3 puede ser cualquier divisor de [math]8. De ahí salen los valores posibles para [math]m, y se despejan los correspondientes valores de [math]n.

Hice eso exactamente.

Lo que no entiendo es, ¿Por qué 8 y no otro número? ¿Se cumpliría si le sumamos otro número? ¡Gracias!

[Matías V5]

Esto puede parecer mágico pero créanme que ya vi el mismo truco en muchos problemas.

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Una vez que llegan a [math]mn + 1 = 3m + 3n, pasamos todo para la izquierda, queda [math]mn - 3m - 3n + 1 = 0. Sumo [math]8 de los dos lados y queda [math]mn - 3m - 3n + 9 = 8. Ahora la gracia es que lo que está del lado izquierdo se puede factorizar como [math](m-3)(n-3). Entonces [math]m-3 puede ser cualquier divisor de [math]8. De ahí salen los valores posibles para [math]m, y se despejan los correspondientes valores de [math]n.

Hice eso exactamente.

Lo que no entiendo es, ¿Por qué 8 y no otro número? ¿Se cumpliría si le sumamos otro número? ¡Gracias!

No, si le sumás otro número que no sea [math]8 lo de la izquierda no se va a poder factorizar como [math](m-a)(n-b). Obligatoriamente [math]a y [math]b tienen que ser [math]3 para que aparezcan los términos [math]-3m y [math]-3n, y entonces el término constante (o sea el que no tiene [math]m ni [math]n) tiene que ser [math]9. Por eso le sumo [math]8.

[Gianni De Rico]

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[math](m^2+n)(m+n^2) = (m+n)^3=m^3+mn^2+mn+n^3=m^2+3m^2n+3mn^2+n^3\Rightarrow mn+1=3m+3n

Sin pérdida de generalidad [math]|m|\geq |n|.
Si [math]|n|\geq 7:
[math]|mn+1|>|7m|=|3m+3m+m|=|3m|+|3m|+|m|\geq |3m|+|3n|+|1|>|3m|+|3n|=|3m+3n|\Rightarrow |mn+1|>|3m+3n|\Rightarrow mn+1\neq 3m+3n
Absurdo!!

El absurdo provino de suponer que [math]|n|\geq 7, por lo tanto [math]|n|<7 y sólo tenemos que probar algunos casos y ver cuáles dan solución.

[drynshock]

Let me teach you:

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Voy a tratar de ir paso por paso para que entiendan bien.

Primero decimos que $m, n$ no son 0.

$(m^2 + n)(m + n^2) = (m + n)^3$

$m^3 + (mn)^2 + mn + n^3 = m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3$

$(mn)^2 + mn = 3(m^2n + mn^2)$

$mn(mn + 1) = 3mn(m + n)$

$mn + 1 = 3(m + n)$

$1 = 3m + 3n - mn$

$1 = 3m + n(3 - m)$

$1 = 3m - \frac{n}{3}(3m - 9)$

$1 - 9 = 3m - 9 - \frac{n}{3}(3m - 9)$

$-8 = (3m - 9)(1 - \frac{n}{3})$

$-8 = 3(m - 3)(1 - \frac{n}{3})$

$8 = 3(m - 3)(\frac{n}{3} - 1)$

$8 = (m - 3)(n - 3)$

De acá sale que los paréntesis van a tomar los factores de 8 y también los negativos, entonces nos queda que:

$(8) = (8, 1) ; (4, 2) ; (-4, -2) ; (-8, -1)$

Si empezamos a reemplazar llegamos a que todos los pares que cumplen son:

$(m, n) = (11, 4); (4, 11); (7, 5); (5, 7); (-5, 2); (2, -5); (-1, 1), (1, -1)$

Y también tenemos el caso que se ve a simple vista que es el $m = n = 0$