Olimpiada de Mayo 2024 N2 P4

[BR1]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, y sean $M,N,P,Q$ los puntos medios de los lados $AB,CD,BC,DA$ respectivamente. La recta $MN$ corta a los segmentos $AP$ y $CQ$ en $X$ e $Y$ respectivamente. Supongamos que $MX=NY$. Demostrar que $\textrm{area}(ABCD)=4\cdot \textrm{area}(BXDY)$.

[Ulis7s]

Lastima que no lo pude hacer en la prueba

Spoiler: mostrar

.1.jpg

.2.jpg

[Gianni De Rico]

Ojo que

Spoiler: mostrar

no es cierto que $ABCD$ es un paralelogramo. El problema está cuando decís que $Q$, $E$ y $P$ están alineados.

De todos modos, sí es cierto que $MX=NY=\frac{MN}{4}$, pero hay que buscar otra forma de demostrarlo.

EDIT: Agrego la demo

Spoiler: mostrar

Sea $O=MN\cap PQ$ y sea $Z$ el punto de intersección de $MN$ con la paralela a $AX$ por $B$.
Por el Teorema de Varignon tenemos que $MPNQ$ es un paralelogramo, con lo que $O$ es el punto medio de $MN$ y de $PQ$. De $MX=NY$ se sigue que $O$ es el punto medio de $XY$. Entonces $XPYQ$ es un paralelogramo, con lo que $QY\parallel PX$. Como $M$ es el punto medio de $AB$, $AX\parallel BZ$ y $M,X,Z$ son colineales, por Thales tenemos que $M$ es el punto medio de $XZ$. Como $P$ es el punto medio de $BC$, $X,Y,Z$ son colineales y $BZ\parallel PX\parallel CY$, por base media tenemos que $X$ es el punto medio de $YZ$. Luego, si $MX=a$ y $OX=b$, tenemos que $MZ=a$, $OY=b$ y $MX=XY$, con lo que $2a=2b$, y así $a=b$. Entonces $X$ es el punto medio de $MO$.
Tenemos entonces que $[BXY]=2[BMX]=2[AMX]$ y que $[DXY]=2[DNY]$. Como $Q$ es el punto medio de $AD$, si $h_1$ es la altura desde $A$ a $MN$ y $h_2$ es la altura desde $D$ a $MN$, resulta que la altura desde $Q$ a $MN$ es $\frac{h_1+h_2}{2}$. Entonces $[BXY]=2[AMX]=bh_1$, $[DXY]=2[DNY]=bh_2$ y $[QXY]=\frac{2b\frac{h_1+h_2}{2}}{2}=\frac{bh_1+bh_2}{2}=\frac{[BXY]+[DXY]}{2}=\frac{[BXDY]}{2}$. Se sigue que $[ABCD]=2[MPQN]=4[QMN]=8[QXY]=4[BXDY]$, como queríamos.

[Ulis7s]

Dale, dale despues lo trato de demostrar!