Intercolegial 2022 N3 P3

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Gianni De Rico

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Intercolegial 2022 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sea $PQRS$ un trapecio de bases $PQ$ y $RS$, con $PQ$ mayor que $RS$, tal que $Q\widehat PS=P\widehat SR=90^\circ$. La perpendicular a la diagonal $QS$ desde $R$ la corta en el punto $T$. Si $PQ=72$, $PS=96$ y $SQ=5\cdot ST$, calcular el área del trapecio.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
Jriera2
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Re: Intercolegial 2022 N3 P3

Mensaje sin leer por Jriera2 »

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Notemos que el triángulo SPQ es rectángulo y su área es 96 × 72÷2 = 3456
Por Pitágoras tenemos que SQ = 120.
y como el enunciado dice que SQ = 5ST , ST= 120/5 = 24
y TQ = 120 - 24 = 96

Llamemos X al ángulo PQS^ y 90-X al ángulo PSQ^.
es fácil ver qué los triángulos PQS y SRT son semejantes ya que PQS^ = RST^ , SPQ^ = STR^ , SRT^ = PSQ^

Por semejanza obtenemos: 24/72 = SR /120
de lo que deducimos SR = 40
después haciendo Pitágoras en el triángulo STR, se ve fácilmente que RT = 32 , y como RT es la altura del triángulo RSQ, ya que es perpendicular a SQ. averiguo el área del triángulo SRQ = 120 × 32 /2 = 1920.

Para terminar sumo el área de ambos triángulos
1920 + 3456 = 5376 = área del trapecio PQRS.
Última edición por Jriera2 el Jue 26 May, 2022 8:53 pm, editado 1 vez en total.
manueloribe
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Re: Intercolegial 2022 N3 P3

Mensaje sin leer por manueloribe »

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Por pitagoras se puede averiguar que $SQ^2=PQ^2+PS^2=72^2+96^2$ por o que SQ=120. Dividiendolo en ST y TQ y con los datos del enunciado, ST=24 y TQ=96. Llamemos a TR=h, SR=a y RQ=b. Por pitagoras hay 3 datos conocidos:
1. $24^2+h^2=a^2$
2. $96^2+h^2=b^2$
3. $96^2+(72-a)^2=b^2$
Usando 2 y 3, llegamos a que $h=72-a$, y metiendolo en la ecuacion 1:
$24^2+(72-a)^2=a^2\\
576+ 5184+a^2-144a=a^2\\
5760-144a=0\\
a=40$
Con la formula del area de un trapecio: $\frac {(b+B)\cdot h}2$ sacamos que el area es 5376 unidades cuadradas.
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