Sea $ABCD$ un rombo con $\widehat A=\widehat C$ mayor que $\widehat B=\widehat D$. Sean $P$ en el lado $AB$ y $Q$ en el lado $AD$ tales que $PCQ$ es un triángulo equilátero de lados iguales a los lados del rombo. Calcular los ángulos del rombo.
Los tres ángulos del triángulo $PCQ$ miden $60^\circ$ por ser equilátero.
Sea $\alpha =C\widehat BA=C\widehat DA$.
El lado de $PCQ$ es igual al lado de $ABCD$, por lo tanto $\overline{CB}=\overline{CP}$, entonces $PCB$ es isósceles y $C\widehat BP=C\widehat PB=\alpha$.
Aplicando lo mismo al triángulo $CDQ$, obtenemos que $C\widehat DQ=C\widehat QD=\alpha$.
$D\widehat CQ=B\widehat CP=180^\circ -2\alpha$ por la suma de los ángulos interiores de $PBC$ y $DCQ$.
Por lo tanto, $B\widehat CD=B\widehat CP+P\widehat CQ+Q\widehat CD=2(180^\circ -2\alpha )+60^\circ$.
Por otro lado, $A\widehat PQ=P\widehat QA=180^\circ -60^\circ -\alpha=120^\circ -\alpha$, ya que $B\widehat PA$ y $D\widehat QA$ son llanos.
Y por ángulos interiores del triángulo $APQ$, $Q\widehat AP=180^\circ -2(120^\circ -\alpha )$.