Intercolegial 2022 N1 P3

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
Mensajes: 1923
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 14
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Intercolegial 2022 N1 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

En una semicircunferencia de centro $O$ y diámetro $AE$ se marcan los puntos $B$, $C$ y $D$, en ese orden, de modo que:$$A\widehat OB=\frac{1}{5}B\widehat OC=\frac{1}{4}C\widehat OD=\frac{1}{2}D\widehat OE.$$Determinar las medidas de los ángulos $A\widehat OB$, $B\widehat OC$, $C\widehat OD$ y $D\widehat OE$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
Avatar de Usuario
Ben raíz de 100

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años
Mensajes: 8
Registrado: Dom 15 Oct, 2017 7:09 pm
Medallas: 1
Nivel: 1

Re: Intercolegial 2022 N1 P3

Mensaje sin leer por Ben raíz de 100 »

Spoiler: mostrar
Llamamos $AOB=x$. Entonces: $BOC=5x$, $COD=4x$ y $DOE=2x$. Pero todos esos ángulos forman uno llano. Entonces $x+5x+4x+2x=180^\circ$. De ahí sacamos que $x=15^\circ$ y los ángulos miden $15^\circ$, $75^\circ$, $60^\circ$ y $30^\circ$.
geronimolahoz
Mensajes: 5
Registrado: Lun 06 Dic, 2021 2:35 pm
Nivel: 1

Re: Intercolegial 2022 N1 P3

Mensaje sin leer por geronimolahoz »

Spoiler: mostrar
Sabemos que $ AOE = 180^{\circ}$ por lo que $AOB + BOC + COD + DOE = 180^{\circ}$
Como $AOB = \frac{1}{5}BOC$ sabemos que $5AOB = BOC$
Si pensamos lo mismo con $COD$ y $DOE$ nos queda lo sgte:
$AOB + 5AOB + 4AOB + 2AOB = 12AOB = 180^{\circ}$
Entonces dividimos $\frac{180}{12}$ y sabemos que $ AOB = 15^{\circ}$
Por lo que
$AOB = 15^{\circ}$ $BOC = 75^{\circ}$ $COD = 60^{\circ}$ $ DOE = 30^{\circ}$
Spoiler: mostrar
Imagen
1  
Responder