Selectivo IMO 2022 P6

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Gianni De Rico

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Selectivo IMO 2022 P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sea $ABC$ un triángulo isósceles, con $AB=AC$. Se consideran un punto $D$ en $AC$ y un punto $K$ en el más pequeño de los arcos $\overparen{CD}$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $BCD$. La semirrecta $CK$ corta a la recta paralela a $BC$ trazada por $A$ en el punto $T$. Sea $M$ el punto medio de $DT$. Demostrar que $A\widehat KT=C\widehat AM$.

Nota: La circunferencia circunscrita de un triángulo es la circunferencia que pasa por sus tres vértices.
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo IMO 2022 P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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La paralela a $BC$ por $D$ corta a $AB$ en $G$ y al circuncírculo de $AKT$ en $R$.
Tenemos entonces que $BCDG$ es un trapecio isósceles, de modo que es cíclico, luego$$\angle TKG=180^\circ -\angle GKC=\angle CBG=180^\circ -\angle GAT,$$con lo que $ATKG$ es cíclico. Entonces $ATRG$ es cíclico y por lo tanto es un trapecio isósceles, con lo que$$\angle TRD=\angle RGA=\angle DGA=\angle ADG,$$de modo que $TR\parallel AD$. Luego, $ATRD$ es un paralelogramo, con lo que $A,M,R$ son colineales. Finalmente$$\angle AKT=\angle ART=\angle DAR=\angle CAM,$$y estamos.
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Turko Arias

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Re: Selectivo IMO 2022 P6

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Platense style intensifies
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Sea $A'$ la *se pone de pie y entona las estrofas del himno platense* reflexión de $A$ por $M$. Luego $ADA'T$ es paralelogramo y probar $\angle AKT = \angle CAM$ es lo mismo que probar $\angle AKT = \angle AA'T$ que es lo mismo que probar que $ATA'K$ es cíclico.

Sea $E$ el punto de intersección de la circunscripta de $BCD$ con $AB$. Como $BC$ y $AT$ son paralelas y $BCKE$ es cíclico, entonces $ATKE$ es cíclico. Por otro lado, como $ABC$ es isósceles, $AD=AE$ y $DE$ es paralelo a $BC$, pero por el paralelogramo $A'D$ es paralelo a $AT$ que es paralelo a $BC$, luego $A',D,E$ están alineados. Además $A'T=AD=AE$, por lo que $TAEA'$ es un trapecio ($AT$ y $A'E$ son paralelas) isósceles, por lo que también es cíclico.

$TAEA'$ cíclico y $TAEK$ cíclico, luego $TAEKA'$ pentágono cíclico y en particular $TAKA'$ cíclico y estamos $\blacksquare$
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Fundamentalista del Aire Acondicionado

Y todo el orgullo de ser bien bilardista
Fedex

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Re: Selectivo IMO 2022 P6

Mensaje sin leer por Fedex »

Una distinta para los que no vemos paralelogramos en los patrones de la naturaleza.
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Sea $P = AK \cap (BDC)$, notar que $\angle AKT = \angle CDP$. Luego nos basta con demostrar que $DP \parallel AM$.
Sea $T' = DP \cap AT$, si vieramos que $AT = AT'$ estaríamos por base media, o lo que es análogo, que $\angle TCA = \angle T'BA$.
Ahora:
$$\angle T'AB = \angle ABC = \angle ACB = \angle DCB = \angle DPB = \angle T'PB$$
Entonces $BPAT'$ es ciclico.
Finalmente:
$$\angle TCA = \angle KCD = \angle T'PA = \angle T'BA$$
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This homie really did 1 at P6 and dipped.
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