Sean $ABC$ un triángulo e $I$ su incentro. Las rectas $BI$ y $CI$ vuelven a intersectar el circuncírculo de $ABC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Se trazan las circunferencias $C_{1}$ y $C_{2}$ de diámetros $NI$ y $MI$, respectivamente. La circunferencia $C_{1}$ intersecta a $AB$ en $P$ y $Q$, y la circunferencia $C_{2}$ intersecta a $AC$ en $R$ y $S$. Demuestre que $P, Q, R$ y $S$ pertenecen a una misma circunferencia.
"La matemática es para pensar. El fútbol es para sacar mi instinto animal y decirle al árbitro hdp te voy a m4t4r." Anónimo
Sean $O_1, O_2, X$ los centros de $C_1$ y $C_2$ y el segundo punto de intersección de $C_1$ y $C_2$ respectivamente. Como $IX$ es eje radical de $C_1$ y $C_2$ tenemos que $O_1O_2$ y $IX$ son perpendiculares.
Como $O_1$ y $O_2$ son puntos medios de $NI$ y $MI$ respectivamente tenemos que $O_1O_2$ es base media del triángulo $MNI$ y $MN$ y $O_1O_2$ resultan ser paralelas.
Es un hecho conocido que el punto $M$ es el circuncentro del triángulo $ACI$ y que $N$ es el circuncentro del triángulo $ABI$, por lo que tenemos que $MA=MI$ y que $NA=NI$ por lo que $AMIN$ es un romboide y por ende sus diagonales son perpendiculares, por lo que $AI$ es perpendicular a $MN$ y por lo tanto a $O_1O_2$ también, de donde podemos concluir que $A, X, I$ están alineados y $A$ pertenece al eje radical de $C_1$ y $C_2$.
Por último, por estar $A$ en el eje radical de ambas circunferencias tenemos que $AS \times AR = AP \times AQ$, es decir $\frac{AS}{AP}= \frac{AQ}{AR}$ por lo que, por el recíproco de potencia de un punto el cuadrilátero $SPQR$ resulta ser cíclico y estamos $\blacksquare$
Por el lema de la lapicera o el lema incentro-excentro (como más le gusta llamarlo) tenemos que $M$ es circuncentro de $\triangle AIC$ y $N$ circuncentro de $\triangle AIB$. Luego, las circunferencias de diámetro $IM$ y $IN$ no son nada más ni nada menos que las circunferencias homotéticas de razón $\frac{1}{2}$ con centro en $I$ a las circunferencias que nos da el lema. Luego, el homotético de $A$ es el segundo punto de intersección de las circunferencias mencionadas (y además es el punto medio de $AI$. Por lo que $A$ pertenece al eje radical de ambas circunferencias (la homotecia nos da la colinealidad que queríamos), por lo que $AP \cdot AQ = AR\cdot AS$, se cumple potencia en un punto y $PQRS$ es un cuadrilátero cíclico.