Intercolegial 2021 - N2 P6

[Monazo]

En el cuadrado $ABCD$ de lado $36$ sea $M$ el punto medio del lado $CD$. Sea $P$ el punto interior del cuadrado que está a igual distancia que $A$, de $B$ y de $M$. Calcular el área del triángulo $APB$.

[FabriATK]

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Llamo $N$ al punto medio de $\overline{AB}$.
Está claro que $P$ está en la mediatriz de $\overline{AB}$
Y $\overline{MP} = 36 - \overline{NP} $
Por pitágoras:
$\overline{AP}^2 = 18^2 + \overline{NP}^2$
Como $\overline{AP} = \overline{MP}$ entonces $\overline{AP}^2 = \overline{MP}^2$ y:
$18^2 + \overline{NP}^2 = (36 - \overline{NP})^2 $
$324 + \overline{NP}^2 = 1296 - 72\overline{NP} + \overline{NP}^2$
$72\overline{NP} = 972$
$\overline{NP} = 13,5$

y el área de $ABP$ es igual a $36\times 13,5/2 = 243$