Selectivo de IMO 2021 - Problema 2

[Monazo]

Sean $\Gamma _1$ y $\Gamma _2$ dos circunferencias de radios distintos, con $\Gamma _1$ la de radio más chico. Las dos circunferencias se cortan en dos puntos distintos $A$, y $B$. Sea $C$ en $\Gamma _1$ y $D$ en $\Gamma _2$ tales que $A$ es el punto medio del segmento $CD$. Se sabe que la recta $CB$ corta a $\Gamma_2$ en $F$ de modo que $B$ está entre $C$ y $F$, y la recta $DB$ corta a $\Gamma _1$ en $E$ de modo que $B$ está entre $D$ y $E$. Las mediatrices de $CD$ y $EF$ se cortan en $P$.

a) Demostrar que $E\hat{P}F=2C\hat{A}E$.

b) Demostrar que $AP^2=CA^2+PE^2$.

[Juaco]

El punto $B $ tiene que estar necesariamente entre $D $ y $E $? Porque viendo los intervalos en donde podría estar $D $ me da que $E $ tiene que estar entre $B $ y $D $
O no sé capaz estoy viendo algo mal...

[joa.fernandez]

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Chan

Es el mismo problema.

Como comentario, se puede ahorrar la parte de angulitos notando la rotohomotecia de centro $A$ que manda $DF$ a $CE$.

[drynshock]

El punto $B $ tiene que estar necesariamente entre $D $ y $E $? Porque viendo los intervalos en donde podría estar $D $ me da que $E $ tiene que estar entre $B $ y $D $
O no sé capaz estoy viendo algo mal...

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imo 2021.png

[Juaco]

ahí $A$ no es el punto medio de $CD$

[drynshock]

ahí $A$ no es el punto medio de $CD$

Tenes razón, pasa que no lo hice a escala. Era solo para mostrar de que si podía ocurrir.