Cuaterna escondida

[Juaco]

Sea $P $ un punto exterior a una circunferencia $\mathcal {C}$. Desde $P $ se trazan 2 rectas secantes $r $ y $s$ a $\mathcal {C}$ tales que quedan los siguientes puntos:
$X,Y = r \cap \mathcal {C} $ ; $W,Z = s \cap \mathcal {C}$
Sean los puntos: $A = XW \cap YZ $ ; $C = XZ \cap WY $ y sean $B $ y $D $ los puntos en $\mathcal {C}$ tales que $BP $ y $DP $ son tangentes a $\mathcal {C} $

El problema pide probar que éstos 4 puntos forman una cuaterna armónica

[Gianni De Rico]

Spoiler: mostrar

Si $G$ es un punto y $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$, la polar de $G$ respecto de $\Gamma$ es la recta perpendicular a $OG$ y que pasa por el inverso de $G$ respecto de $\Gamma$. El Teorema de Brocard nos dice que la recta $PC$ es la polar de $A$ respecto de $\mathcal{C}$, vamos a ver que con eso alcanza para asegurar que $\{A,C;B,D\}=-1$.

Como lo único que necesitamos es lo de la polar, nos vamos a un dibujo nuevo.
Sean $A$ un punto del plano y $\Gamma$ una circunferencia. Sea $C$ el inverso de $A$ por $\Gamma$ y sean $B$ y $D$ los puntos de intersección de $AC$ con $\Gamma$. Sea $C'$ un punto en la polar de $A$ respecto de $\Gamma$, y sean $B'$ y $D'$ los puntos de intersección de $AC'$ con $\Gamma$, buscamos demostrar que $\{A,C';B',D'\}=-1$.
Sea $P=BB'\cap DD'$, el Teorema de Brocard nos dice que $P$ está en la polar de $A$, es decir, $P,C,C'$ son colineales, luego $\{A,C';B',D'\}\underset{P}{=}\{A,C;B,D\}$, de modo que el problema se reduce a probar que $\{A,C;B,D\}=-1$. Para ver eso podemos usar que invertir preserva la razón doble, de modo que $\{A,C;B,D\}=\{C,A;B,D\}$, así que ambos valen $-1$; podemos hacer la cuenta marcando el centro de la circunferencia y aprovechando que $A$ y $C$ son inversos; o bien podemos marcar los puntos $E$ y $F$ tales que $AE$ y $AF$ son tangentes a $\Gamma$ y notar que $\{A,C;B,D\}\underset{E}{=}\{E,F;B,D\}=-1$, pues $BEDF$ es claramente armónico. En cualquiera de los casos, tenemos que $\{A,C';B',D'\}=\{A,C;B,D\}=-1$, como queríamos.

Nota: Todo esto funciona sin importar el orden de los puntos en el dibujo (vale tanto si $A$ está adentro de la circunferencia como afuera, etc.)

[Fran2001]

Spoiler: mostrar

Como dice arriba, Brocard nos dice que $AC$ es la polar de $P$, es decir, que $A, B, C, D$ están alineados.
Ahora, como en el cuadrilátero $DYBX$ concurren $XY$ y las tangentes por $D$ y $B$, es armónico. En otras palabras, $(Y, X; B, D)$ es una cuaterna armónica.
Proyectando por $Z$ sobre la recta $DB$ vemos que $D$ va a $D$, $X$ va a $C$, $B$ va a $B$ e $Y$ va a $A$. Por lo tanto $(A, C; B, D)$ es una cuaterna armónica.