Irán 1995

Juaco

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Irán 1995

Mensaje sin leer por Juaco »

Sean $M, N, P$ los puntos de intersección del incírculo del triángulo $ABC$ con los lados $AB, BC, CA $ respectivamente.

Probar que el ortocentro del triángulo $MNP $, el incentro de $ABC $ y el circuncentro de $ABC $ son colineales.
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enigma1234

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Re: Irán 1995

Mensaje sin leer por enigma1234 »

Solución:
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Sea $M_1,N_1,P_1$ las segundas intersecciones del circuncírculo del triangulo $ABC$ con $CI,AI,BI$.

1. $\triangle MNP$ y $\triangle M_1N_1P_1$ son homotéticos:
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Basta probar que $MN\parallel M_1N_1$, $NP\parallel N_1P_1$ y $PM\parallel P_1M_1$.

Sea $X$ la intersección de $M_1N_1$ con $BC$. Luego $\angle M_1XB=\angle XM_1C+\angle XCM_1=\frac{\angle A+\angle C}{2}=\angle MNB$. De esto obtenemos $MN\parallel M_1N_1$. Los otros resultados se obtienen de manera análoga.
1.jpg
Sea $O_1$ el centro de homotecia entre $\triangle MNP$ y, $\triangle M_1N_1P_1$, $H$ el ortocentro de $\triangle MNP$, $I$ el incentro de $ABC$ y $O$ el circuncentro de $ABC$.

2. $I$ es ortcentro de $\triangle M_1N_1P_1:$
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Tenemos $IM_1=IC\perp NP$ debido a que $CI$ es bisectriz y $CN=CP$. Luego, como $NP\parallel N_1P_1$ por el punto anterior, entonces obtenemos $IM_1\perp N_1P_1$. Analogamente obtenemos $IN_1\perp P_1M_1$ y $IP_1\perp M_1N_1$, con lo que obtenemos que $I$ debe ser el ortocentro de $\triangle M_1N_1P_1$.
Luego, de la homotecia obtenemos que $O_1,I,O$ son colineales (circuncentros homoteticos) y $O_1,H,I$ son colineales (ortocentros homoteticos).
De esto, $O$ y $H$ estan en la recta $O_1I$, en particular, $H,I$ y $O$ son colineales.
2.jpg
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