Otro de geometría

[Juaco]

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle CAB=2\angle CBA$.
Sea $D$ un punto en la recta $AB$ tal que $AD>AB$ y $\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$.

Probar que se cumple la siguiente igualdad:
$2DC=AD+2AC$.

[BrunZo]

Bellísimo

Spoiler: mostrar

No como mi solución, que es horrible

geogebra-export.png

Bueno, la clave va a estar en el siguiente lema conocido:

Lemote: En un triángulo $ACD$, sean $B$ y $M$ en $AD$ los puntos de contacto del incírculo y el excírculo correspondiente. Entonces, $CB$ contiene al reflejo de $M$ por el incentro.
Demo: Considerando la homotecia que lleva el incírculo al excírculo (que tiene centro en $C$), es claro que el diámetro perpendicular a $BC$ es llevado al diámetro perpendicular a $BC$, pero estos son los diámetros que pasan por $M$ y $B$, luego se demuestra que la homotecia lleva al opuesto diametral de $M$ (reflejo por el incírculo) a $B$, de donde se deduce que $C$, el relfejo y $B$ son colineales.

Lo interesante, es que si en este lema tuviésemos $AB=3BD$, entonces notemos que si $N$ es el punto medio de $AD$ vale que $AM=MN=NB=BD$. Por ende pasan cosas como que $IN\parallel BC$, lo que implica que $C\hat{B}A=I\hat{N}A=I\hat{A}N=C\hat{A}I$, lo que demostraría $C\hat{A}B=2C\hat{B}A$. No es difícil notar que la igualdad de ángulos implica la otra igualdad. Ahora bien, esta no es la dirección que tenemos que probar, sino que tenemos que probar otra dirección: sabiendo la igualdad de lados y ángulos tenemos que deducir que $I$ es el incentro. Esto lo vamos a hacer de forma muy distinta:

Consideremos dos puntos distintos $B_1$, $B_2$ en $AD$ con $AB_1<AB_2$ y definamos los puntos $M_1$, $M_2$ para que cumplan $AM_i=DB_i$; definamos los puntos $I_1$, $I_2$ en la bisectriz de $\hat{A}$ para que cumplan que $M_iI_i\perp AD$, y definamos los puntos $P_1$, $P_2$ como las intersecciones de $M_iI_i$ con $CB_i$. Como $AB_1<AB_2$, entonces $AM_1>AM_2$. Por esto, como la bisectriz de $\hat{A}$ cumple que a meddia que nos "alejamos" de $A$, su altura "crece", vale que $M_1I_1>M_2I_2$. Pero por otro lado, como $AB_1<AB_2$, intuitivamente la altura de $AB_1$ es menor que la de $AB_2$, y además estamos tomando un punto $M_2$ más lejano a $A$, cuando la recta $CB_2$ "decrece en altura" cuando nos alejamos de $A$, por lo que $M_1P_1<M_2P_2$. En definitiva, $\frac{M_1I_1}{M_1P_1}>\frac{M_2I_2}{M_2P_2}$, lo que quiere decir que a medida que movemos $B$ desde $A$ hacia $D$ la fracción $\frac{MI}{MP}$ es estrictamente decreciente, por lo que vale $\frac{1}{2}$ en exactamente un punto. Pero vimos que el incentro de $ACD$ cumple tanto las condiciones de construcción (podemos marcar $M$, $B$ y $P$) y además cumple que la fracción es igual a $\frac{1}{2}$, lo que demuestra que $I$ es el incentro de $ACD$, como queríamos.

Y entonces, como $M$ es el contacto del incírculo, vale la fórmula
$$AM=\frac{AD+AC-CD}{2}\Longrightarrow AD=2(AD+AC-CD)\Longrightarrow 2DC=AD+2AC$$
como queríamos demostrar.

(Por cierto, no es difícil de probar que el converso vale, es decir, si la igualdad de lados rara $2DC=AD+2AC$ se cumple, entonces el punto de contacto del incírculo parte al lado en proporción $1:3$ y entonces al marcar $B$ tenemosel excírculo y bla bla bla, vale la igualdad de angulitos).

((Por cierto^2, un corolario interesante es que esto demuestra que dados $AB$, el lugar geométrico de los puntos $C$ con $C\hat{A}B=2C\hat{B}A$ es la hipérbola de focos $A$, $D$ y diferencia $AC-DC=\frac{AD}{2}$ [i.e. pasa por $M$, el punto quel o parte en $1:3$]))

(((Por cierto^3, este problema lo conocía narrado de otra forma y con una solución mucho más espantosa [cuentas], pero es igualmente interesante cómo nace la solución con propiedades del incírculo)))

[Juaco]

Muy buena la solución, o al menos es mejor que la mía. Otro dato interesante de esta hiperbola que mencionas (de la cual saque la relación de lados para el problema) es que además de que $A$ y $D$ son focos de ésta, los puntos $B $ y $M $ son los vertices.

Si se lleva la figura a un plano cartesiano y se colocan los puntos $A $ y $B $ de tal forma que las coordenadas de estos sean:
$A=(-2a;0)$ y $B =(a;0)$ entonces la ecuación de la hiperbola es: $\frac{x^2}{a^2} + \frac {y^2}{3a^2} = 1$