Maratón de Problemas de Geometría

Avatar de Usuario
¿hola?

OFO - Mención-OFO 2016 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2017 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2018 OFO - Medalla de Plata-OFO 2019 OFO - Medalla de Oro-OFO 2020
COFFEE - Mención-COFFEE Ariel Zylber
Mensajes: 128
Registrado: Vie 01 Ene, 2016 1:12 am
Medallas: 6
Nivel: 3
Contactar:

Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por ¿hola? » Mié 08 Jul, 2020 5:55 pm

Solución 154
Spoiler: mostrar
Sean $X$ e $Y$, $AP\cap DC$ y $DP\cap AB$ respectivamente, sea $F$ el punto medio de $DB$, $O=AC\cap BD$.
maratón_hola.png
Por ser $ABCD$ un trapecio isósceles, $B\hat {D}C=D\hat {C}A=C\hat {A}B=A\hat {B}D$.
Por $F$ estar en el circuncirculo de $ABE$ y por angulo semi-inscripto, $F\hat {A}X=A\hat {B}F$, análogamente, $E\hat {D}Y=D\hat {C}E$.
Como $F\hat {A}X=F\hat {D}X$ y $E\hat {D}Y=E\hat {A}Y$ entonces $AYED$ y $AFXD$ son cuadriláteros cíclicos.
Por lo anterior podemos ver que, $B\hat {Y}D=D\hat {E}C$ y $B\hat {F}A=C\hat {X}A$, con lo que ya podemos ver que los triángulos $ABF$ y $ACX$ son semejantes y los triángulos $DYB$ y $DEC$ son semejantes por tener dos ángulos iguales en cada caso. Esto implica que...
(Supongamos que $P$ esta dentro del trapecio, el caso contrario es muy similar).

$\frac{DC}{CE}=\frac{DB}{BY} \Rightarrow \frac{DC}{\frac{1}{2}AC}=\frac{AC}{BY} \Rightarrow BY=\frac{AC^2}{2DC} \Rightarrow AY=AB-\frac{AC^2}{2DC}$

$\frac{AB}{BF}=\frac{AC}{CX} \Rightarrow \frac{AB}{\frac{1}{2}AC}=\frac{AC}{CX} \Rightarrow CX=\frac{AC^2}{2AB} \Rightarrow DX=DC-\frac{AC^2}{2AB}$

Ahora como $YPA$ y $DPX$ son semejantes, por ser $DC\parallel AB$, entonces $\frac{AP}{PX}=\frac{AY}{DX}=\frac{AB-\frac{AC^2}{2DC}}{DC-\frac{AC^2}{2AB}}=\frac{AB}{DC}=\frac{AO}{OC}$

Entonces por tales $PO\parallel DC\parallel AB \Rightarrow D\hat {O}P=P\hat {O}A=A\hat {B}D=P\hat {D}E$ por lo que $PEOD$ es ciclico, de esto, $P\hat {E}D=P\hat {O}D=P\hat {D}E$ que implica $PD=PE$ por lo que finalmente $PE$ es tangente al circuncirculo de $DEC$.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
1  
Yes, he who

Avatar de Usuario
Turko Arias

Colaborador-Varias OFO - Medalla de Plata-OFO 2016 OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber
Mensajes: 412
Registrado: Lun 28 Nov, 2011 11:39 am
Medallas: 9
Nivel: Ñandú
Ubicación: La Plata, Provincia de Buenos Aires

Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mié 08 Jul, 2020 9:33 pm

¿hola? escribió:
Mié 08 Jul, 2020 5:55 pm
Solución 154

Entonces por tales
meme ojos.jpg
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
3  
Fundamentalista del Aire Acondicionado

Responder