Maratón de Problemas de Geometría
Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problemana 203
Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos circunferencias secantes de centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Se coloca un punto $S $ exterior a ambas y perteneciente a la recta $O_1O_2$. Se trazan las tangentes a $\Gamma_1$, $SA $ y $SB $, y las tangentes a $\Gamma_2$, $SC $ y $SD $.
$R $ es uno de los puntos de intersección de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, puede ser cualquiera
$K = AB \cap O_1S $
$J = CD \cap O_2S $.
Probar que $\angle O_1RO_2 = \angle KRJ$
Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos circunferencias secantes de centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Se coloca un punto $S $ exterior a ambas y perteneciente a la recta $O_1O_2$. Se trazan las tangentes a $\Gamma_1$, $SA $ y $SB $, y las tangentes a $\Gamma_2$, $SC $ y $SD $.
$R $ es uno de los puntos de intersección de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, puede ser cualquiera
$K = AB \cap O_1S $
$J = CD \cap O_2S $.
Probar que $\angle O_1RO_2 = \angle KRJ$
Última edición por Juaco el Sab 20 Mar, 2021 11:44 pm, editado 4 veces en total.
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Muy buena solución, un par de comentarios
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 204
Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. El pie de la perpendicular desde $I$ a la recta $BC$ es el punto $D$, y el pie de la perpendicular desde $I$ a la recta $AD$ es el punto $P$. La recta $AD$ corta nuevamente al circuncírculo de $BPC$ en el punto $T$.
Demostrar que la tangente al circuncírculo de $BPC$ por $T$ es paralela a $BC$.
Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. El pie de la perpendicular desde $I$ a la recta $BC$ es el punto $D$, y el pie de la perpendicular desde $I$ a la recta $AD$ es el punto $P$. La recta $AD$ corta nuevamente al circuncírculo de $BPC$ en el punto $T$.
Demostrar que la tangente al circuncírculo de $BPC$ por $T$ es paralela a $BC$.
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Solución 204
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 205
En el triángulo $ABC$, $AC=k\cdot AB$ con $k>1$. La bisectriz de $\angle BAC$ intersecta a $BC$ en $D$. La circunferencia de diámetro $AC$ intersecta a la recta $AD$ nuevamente en $E$.
Expresar $\frac{AD}{AE}$ en función de $k$.
En el triángulo $ABC$, $AC=k\cdot AB$ con $k>1$. La bisectriz de $\angle BAC$ intersecta a $BC$ en $D$. La circunferencia de diámetro $AC$ intersecta a la recta $AD$ nuevamente en $E$.
Expresar $\frac{AD}{AE}$ en función de $k$.
Re: Maratón de Problemas de Geometría
Bueno veo que nadie propone así que acá va uno
Problema 206
Sea $ABC$ un triángulo tal que $B\hat{A}C=60^\circ$.
Sean $D$ y $E$ puntos sobre los lados $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $BE$ y $CD$ son bisectrices.
Probar que la reflexión de $A$ respecto a la recta $DE$ pertenece a la recta $BC$.
Problema 206
Sea $ABC$ un triángulo tal que $B\hat{A}C=60^\circ$.
Sean $D$ y $E$ puntos sobre los lados $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $BE$ y $CD$ son bisectrices.
Probar que la reflexión de $A$ respecto a la recta $DE$ pertenece a la recta $BC$.
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Solución 206
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 207
Sea $ABC$ un triangulo inscrito en una semicircunferencia, $\omega$, de diametro $AC$ y centro $O$. Sean $X$ (X distinto de O) e $Y$ puntos sobre $AC$ y $\omega$, respectivamente, luego $XY$ corta a la cuerda $AB$ en $P$. El reflejo de $XY$ respecto de $AC$ corta a la cuerda $AB$ y $\omega$ en $Q$ y $Z$, respectivamente.
Supongamos que $PY=QZ$ ¿Cuanto mide el angulo $XPO$ en terminos del angulo $BAC$?
Sea $ABC$ un triangulo inscrito en una semicircunferencia, $\omega$, de diametro $AC$ y centro $O$. Sean $X$ (X distinto de O) e $Y$ puntos sobre $AC$ y $\omega$, respectivamente, luego $XY$ corta a la cuerda $AB$ en $P$. El reflejo de $XY$ respecto de $AC$ corta a la cuerda $AB$ y $\omega$ en $Q$ y $Z$, respectivamente.
Supongamos que $PY=QZ$ ¿Cuanto mide el angulo $XPO$ en terminos del angulo $BAC$?
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.