Maratón de Problemas de Geometría

[Gianni De Rico]

Problema 134

Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $CD$, y sean $M,N$ los puntos medios de $AB,CD$, respectivamente. Se consideran los puntos $X$ e $Y$ sobre los segmentos $AC$ y $BD$, respectivamente. La recta $XM$ corta a la recta $BC$ en el punto $P$, la recta $XN$ corta a la recta $DA$ en el punto $Q$, la recta $YM$ corta a la recta $DA$ en el punto $R$, y la recta $YN$ corta a la recta $BC$ en el punto $S$.
Demostrar que el cuadrilátero $PQRS$ es un trapecio.

[BrunZo]

Problema 134

Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $BC$

¿Cómo sería eso?

[Gianni De Rico]

Error de tipeo, editado

[ricarlos]

Solucion 134

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Menelao 2 veces,

triangulo $DCA$ transversal $NXQ$,

$\frac{DN}{NC}\frac{CX}{XA}\frac{QA}{QD}=1\rightarrow \frac{CX}{XA}=\frac{QD}{QA}$

triangulo $BAC$ transversal $XMP$,

$\frac{CX}{XA}\frac{AM}{MB}\frac{PB}{PC}=1\rightarrow \frac{CX}{XA}=\frac{PC}{PB}$

O sea $\frac{QD}{QA}=\frac{PC}{PB}$ prueba que $PQ\parallel DC$, y bueno, lo mismo para RS usando

los triangulos DCB transversal NYS y DBA tranversal YMR.

yo no voy a postear.

[Turko Arias]

Vi mi oportunidad y la aproveché:

Problema 135

Sea $ABCDEF$ un hexagono convexo con lados no paralelos y tangentes a una circunferencia $\Gamma$.
en los puntos medios $P, Q, R$ de los lados $AB, CD, EF$ respectivamente. $\Gamma$ es tangente a $BC, DE$ y $FA$ en los puntos $X, Y, Z$ respectivamente. La recta $AB$ corta a las rectas $EF$ y $CD$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente. Las rectas $MZ$ y $NX$ se cortan en el punto $K$. Sea $r$ la recta que une al centro de $\Gamma$ y al punto $K$. Demostrar que la interseccion de $PY$ y $QZ$ pertenece a la recta $r$.

[ricarlos]

Solucion 135.

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Sean $L=DF\cap CD$, $S=AF\cap BC$, $T=AF\cap DE$ y $U=DE\cap BC$.
Sea $I$ el centro de $\Gamma$ y a su vez incentro de $LMN$.
Sabemos que $XZS$, $YZT$ asi como $XYU$ son isosceles en $S,T,U$, respectivamente.
Y que $AP=AZ$ y $BP=BX$, o sea $BX=AZ\rightarrow AB\parallel XZ$.
Igualmente $FE\parallel ZY$ y $CD\parallel XY$.
Entonces $K$ es el centro de homotecia de $LMN$ y $YZX$.
Notamos que $P$ y $Q$ son puntos medios de los arcos $XAZ$ y $YCX$ por lo tanto la interseccion de $YP$ con $ZQ$ determinan el incentro, $I'$ digamos, del triangulo $YZX$, luego el centro de homotecia $K$ esta alineado con $I$ e $I'$.

de nuevo no se que postear.

[Gianni De Rico]

@Turko Arias el pueblo te llama

[AgusBarreto]

Problema 136

Dado un cuadrilátero convexo y los cuatro cuadrados externos construidos sobre sus lados, probar que los segmentos que unen los centros de cuadrados opuestos son perpendiculares y de igual longitud.

[Gianni De Rico]

Solución 136

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Sean $ABCD$ el cuadrilátero y $O_1,O_2,O_3,O_4$ los centros de los cuadrados construidos sobre los lados $AB,BC,CD,DA$, respectivamente.
Sea $M$ el punto medio de $AC$, por Finsler-Hadwiger tenemos que $O_2$ se obtiene rotando $90^\circ$ a $O_1$ por $M$. Análogamente, $O_4$ se obtiene rotando $90^\circ$ a $O_3$ por $M$. Entonces $O_2O_4$ se obtiene rotando $90^\circ$ a $O_1O_3$ por $M$. Y con eso estamos.

[Gianni De Rico]

Problema 137

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno, y sean $D$ y $E$ los pies de las alturas desde $A$ y $B$, respectivamente. Sean $M$ el punto medio de $AB$ y $H$ el ortocentro de $ABC$. Los circuncírculos de $AHB$ y $DEM$ se cortan en los puntos $P$ y $Q$, con $APHQB$ en ese orden sobre la circunferencia.
Demostrar que las rectas $DE,PH,QM$ pasan todas por un mismo punto $G$ que está sobre el circuncírculo de $ABC$.