Maratón de Problemas de Geometría

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Fran5

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Fran5 »

Problema 230

Se tiene un triángulo acutángulo $ABC$. Sea $P$ un punto interior tal que la recta $AP$ es perpendicular a $BC$. Se trazan dos rectas por $P$, paralelas a $AC$ y $AB$, que cortan a $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Los puntos $X \neq A$ e $Y \neq A$ están en los circuncírculos de $ABD$ y $ACE$, respectivamente, tales que $DA = DX$ y $EA = EY$. Mostrar que los puntos $B,X,C,Y$ están en una misma circunferencia.
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Felibauk »

Solución $230$
Spoiler: mostrar
Sea $H$ en $BC$ tal que $AH$ es altura. Sea $A'$ el reflejo de $A$ por $H$.
Notemos que por Thales, $\frac {BH}{EH} = \frac {CH}{DH}$. Luego, $BH \cdot DH = CH \cdot EH$, por lo que $H$ pertenece al eje radical entre $(ABD)$ y $(ACE) \Rightarrow AH$ es eje radical.
Ahora bien, notemos que por isósceles y arco capaz, $\measuredangle DAX = \measuredangle AXD = \measuredangle ABD = \measuredangle DBX$. Análogamente, $\measuredangle ACE= \measuredangle ECY$. Por la reflexión, tenemos que $\measuredangle ABD = \measuredangle DBA' =\measuredangle DBX$ y $\measuredangle ACE = \measuredangle ECA' =\measuredangle ECY$. Por lo tanto, $A',B,X$ y $A',C,Y$ son colineales.
Como $A' \in AH$ que es eje radical, vale que $A'B \cdot A'X = A'C \cdot A'Y$, de lo cual concluimos que $$B,X,C,Y \, \text{son concíclicos} \blacksquare$$
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Felibauk »

Problema $231$

Dos circunferencias $\omega _1, \omega _2$ se intersecan en $A$ y $B$. Probar que el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que $\text{Pot}(P,\omega _1) = k \cdot \text{Pot}(P,\omega _2)$, con $k$ constante, es una circunferencia que pasa por $A$ y $B$.
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por BrunZo »

Spoiler: mostrar
Bueno, primero notemos que los únicos puntos donde la igualdad se da porque las potencias son ambas $0$ son $A$ y $B$; en cualquier otro caso, alguna potencia es no nula, y en consecuencia ambas son no nulas. Así que me voy a sentir libre de ir dividiendo en laexpresión original.

Sea $P$ un punto en el plano. Trazo $PA$ y $PB$ que cortan a $\omega_1$ en $A_1$ y $B_1$ y a $\omega_2$ en $A_2$ y $B_2$.

Obs: Vale que $\triangle PA_1B_1\sim \triangle PA_2B_2$ y la razón de semejanza es $\frac{\text{Pot}(P, \omega_1)}{\text{Pot}(P, \omega_2)}$.
Dem: Por angulitos se podría demostrar que $A_1B_1\parallel A_2B_2$. Igual ahora nos sirve hacer otra cosa por potencia de un punto:
$$\frac{PA_1}{PA_2} = \frac{PA\cdot PA_1}{PA\cdot PA_2} = \frac{PB\cdot PB_1}{PB\cdot PB_2} = \frac{PB_1}{PB_2}$$
y el ángulo compartido $A\widehat{P}B$ es el mismo.

Voy a llamar $\alpha_1$ al ángulo que subtiende la cuerda $AB$ en $\omega_1$, $\alpha_2$ al que subtiende en $\omega_2$, y también $\theta = A\widehat{P}B$.
No es difícil observar que los ángulos de las cuerdas $A_1B_1$ en $\omega_1$ y $A_2B_2$ en $\omega_2$ son $\alpha_1-\theta$ y $\alpha_2+\theta$. Como las cuerdas subtendidas por ángulos iguales son iguales, si $\theta$ no varía, la potencia es la misma. Más aún, mientras más grande el ángulo más grande la cuerda, es decir, si $\theta$ crece, entonces $A_1B_1$ decrece y $A_2B_2$ crece, luego el cociente decrece. Por este motivo, a cada ángulo le corresponde un cociente distinto, así que a igual cociente, igual ángulo.

Esto implica que si el cociente es constante, entonces $APB$ es fijo, de donde $P$ se mueve en una circunferencia que pasa por $A$ y $B$.
geogebra-export.png
Problema 232
Un viejo pirata con veleidades de matemático deja en herencia a su nieto además de sus conocimientos de geometría, los datos para encontrar un tesoro:
"Los tres cofres están entrerrados en puntos $P$, $Q$, $R$ de la orilla del lago perfectamente circular que hay en la isla OMA. Sólo te diré que el cocotero, el bananero y la palmera que verás en la costa son la intersección con la orilla de las prolongaciones de la altura, la mediana y la bisectriz del triángulo $PQR$ trazadas desde $P$. Estoy seguro de que serás afortunado."
¿Cómo hizo el nieto del pirata para encontrar el tesoro?
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