Maratón de Problemas de Geometría

ricarlos
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por ricarlos » Sab 30 Mar, 2019 11:43 pm

Solucion 106
Spoiler: mostrar
Sea $P$ la proyeccion de $N$ sobre $AC$ y $Q= PN\cap \omega$
Es conocido que $KLP$ es la recta de Simson. Una de las propiedades de esta recta es que $BQ\parallel KLP$.
Sean $O$ el centro de $\omega$ y $\angle NOM =\alpha$, entonces $\angle BON =2\alpha$ y $\angle BQN= \alpha$. Entonces $KLP\parallel ON$
Sean,
$R= AC\cap BQ$
$S= AC\cap OQ$
$T= AC\cap MO$
$U= AC\cap NO$
$G$ baricentro de $ABC$
$O'= OG\cap KLP$
Sabemos que si O' es el centro del circulo de 9 puntos (tal como nos pide el problema) se cumple OG/O'G=2. Como no encontre Menelao lo resolvi asi:
https://ibb.co/P5345X4
dibu1.png
(si esta bien, dejo abierto a q otro proponga)
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

BrunZo

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por BrunZo » Dom 31 Mar, 2019 10:24 am

ricarlos escribió:
Sab 30 Mar, 2019 11:43 pm
Solucion 106
Spoiler: mostrar
Sea $P$ la proyeccion de $N$ sobre $AC$ y $Q= PN\cap \omega$
Es conocido que $KLP$ es la recta de Simson. Una de las propiedades de esta recta es que $BQ\parallel KLP$.
Sean $O$ el centro de $\omega$ y $\angle NOM =\alpha$, entonces $\angle BON =2\alpha$ y $\angle BQN= \alpha$. Entonces $KLP\parallel ON$
Sean,
$R= AC\cap BQ$
$S= AC\cap OQ$
$T= AC\cap MO$
$U= AC\cap NO$
$G$ baricentro de $ABC$
$O'= OG\cap KLP$
Sabemos que si O' es el centro del circulo de 9 puntos (tal como nos pide el problema) se cumple OG/O'G=2. Como no encontre Menelao lo resolvi asi:
https://ibb.co/P5345X4
dibu1.png
Está bien, pero creo que diste un poco de vueltas de más. Fijate que
Spoiler: mostrar
si demostras $KL\parallel ON$ ya estás: Sabiendo que la recta de Simson $KL$ pasa por el punto medio de $HN$ (donde $H$ es el ortocento), tenés que $KL$ es base media de $HNO$, por lo que pasa por el punto medio de $HO$, que es el nine-point-center $N_9$.
Y con eso estás.
ricarlos escribió:
Sab 30 Mar, 2019 11:43 pm
dejo abierto a q otro proponga

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 31 Mar, 2019 10:37 am

Problema 107

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. Sean $\Gamma$ su circuncírculo, $O$ su circuncentro, $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio del lado $BC$. La recta $AM$ corta nuevamente a $\Gamma$ en $N$, y la circunferencia de diámetro $AM$ corta nuevamente a $\Gamma$ en $P$.
Demostrar que $AP$, $BC$ y $OH$ son concurrentes si y sólo si $AH=HN$.
Queda Elegantemente Demostrado

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Fran5

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Fran5 » Lun 01 Abr, 2019 5:09 pm

Solucion 107
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Sea $U$ la intersección de $AP$ con $BC$. Sea $D$ el pie de la altur de $A$ a $BC$ y $H'$ el reflejo de $H$ por $M$.

Es conocido que $AH'$ es un diámetro de $\Gamma$, con lo cual $APM = 90 = APH'$, de modo que $P,H,M,H'$ están alineados.

Luego, como $AP$ es perpendicular a $HM$ y $MD$ es perpendicular a $AH$, tenemos que $U$ es el ortocentro de $AHM$.

FInalmente, $U$ está en $OH$ si y sólo si $OU$ es perpendicular a $AM$, si y sólo si $OU$ es perpendicular a $AN$ si y sólo si $U$ está en la mediatriz de $AN$ si y sólo si $H$ lo está si y sólo si $AH = NH$, QED.
Problema 108 En un triángulo $ABC$ se marcan las bisectrices de $B$ y $C$, que cortan a $AC$ y $AB$ en $D$ y $E$ respectivamente. Si $\angle BDE = 24$ y $\angle CED = 18$, hallar los ángulos de $ABC$
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Fran5

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 24 Nov, 2019 12:24 am

Estamos en Happy Hour!
Hacemos 2x1

Los que quieran resolver el problema 108 ahora están invitados a resolver también el problema 109

Dato curioso
Spoiler: mostrar
Ambos problemas son de la Junior Balkan Math Olympiad
Selectivo, Problema 1. Uno de 2017, otro de 2018 (mismo país)

Resulta curiosa entonces la diferencia entre las dificultades
Problema 109

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle DAB = 100$, $\angle BCD = 130$ y $AB=AD=1 $
Hallar la medida de la diagonal $AC$.
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BrunZo

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por BrunZo » Dom 24 Nov, 2019 4:08 pm

Al problema centésimo noveno:

Pista(s):
Spoiler: mostrar
Si hacemos la figura, veremos que $ABD$ es un triángulo isósceles determinado, y que $C$ puede ser cualquier punto tal que $\angle BCD= 130^{\circ}$.
i) ¿Cuáles son todas las posibles posiciones de $C$?
Spoiler: mostrar
$C$ denota un arco que tiene como extremos $B$ y $D$, el arco capaz de $B$ y $C$ con ángulo $130^{\circ}.
ii) ¿Qué nos gustaría que valga para que todas estas posiciones de $C$, el valor de $AC$ pueda calcularse?
Spoiler: mostrar
Nos gustaría que el arco por el que se mueve $C$ tenga centro en $A$, así $AC$ es constante (el radio).
a) ¿Qué implicaría esto?
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Implica que $AC=1$, con lo que estamos.
b) ¿Cómo probamos que efectivamente este arco tiene centro en $A$?
Spoiler: mostrar
Por angulitos.
Solución:
Spoiler: mostrar
Lema: Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AB=AD=x$. Entonces, $AC=x\iff \angle BCD=180^{\circ}-\frac{\angle DAB}{2}$. (Para la motivación del lema, ver la pista).
Demostración: Sea $\omega$ la circunferencia con centro $A$ y radio $x$ (que pasa por $B$ y $D$) y sea $X$ un punto en su arco $BD$ que no contiene a $C$. Entonces
$$AC=x\iff C\in\omega\iff \angle BCD=180^{\circ}-\angle DXB=180^{\circ}-\frac{\angle DAB}{2}$$
Que es lo que queríamos probar.

Ahora el problema es directo, ya que $130^{\circ}=180^{\circ}-\frac{100^{\circ}}{2}$, de lo que se sigue que $AC=AB=AD=1$.

PD: Un lema similar sirve en https://www.omaforos.com.ar/viewtopic.p ... 1948#p7097 y muchos otros problemas. Todos se basan en una idea muy útil sobre en incentro.
Última edición por BrunZo el Jue 28 Nov, 2019 1:45 pm, editado 1 vez en total.

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Monazo

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Monazo » Mar 26 Nov, 2019 11:56 am

Muy copada tu solucion!! Pero el pueblo esta esperando que publiques el problema 110!!

BrunZo

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por BrunZo » Mar 26 Nov, 2019 5:49 pm

Monazo escribió:
Mar 26 Nov, 2019 11:56 am
Muy copada tu solucion!! Pero el pueblo esta esperando que publiques el problema 110!!
Je, je. Ahí va:

Problema 110.
Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$ y $P$ un punto variable en su interior. Las rectas $BP$ y $CP$ cortan a $AC$ y $AB$ en $B_1$, $C_1$. Hallar el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que $BB_1=CC_1$.
Última edición por BrunZo el Mar 26 Nov, 2019 9:52 pm, editado 1 vez en total.

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Fran5

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Fran5 » Mar 26 Nov, 2019 8:29 pm

Y $H$ para que sirve?
3  
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Joacoini

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 26 Nov, 2019 9:21 pm

Es para prevenir que la gente le ponga $O$ de ortocentro.
5  
NO HAY ANÁLISIS.

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