Maratón de Problemas de Geometría

ricarlos
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por ricarlos » Sab 30 Mar, 2019 11:43 pm

Solucion 106
Spoiler: mostrar
Sea $P$ la proyeccion de $N$ sobre $AC$ y $Q= PN\cap \omega$
Es conocido que $KLP$ es la recta de Simson. Una de las propiedades de esta recta es que $BQ\parallel KLP$.
Sean $O$ el centro de $\omega$ y $\angle NOM =\alpha$, entonces $\angle BON =2\alpha$ y $\angle BQN= \alpha$. Entonces $KLP\parallel ON$
Sean,
$R= AC\cap BQ$
$S= AC\cap OQ$
$T= AC\cap MO$
$U= AC\cap NO$
$G$ baricentro de $ABC$
$O'= OG\cap KLP$
Sabemos que si O' es el centro del circulo de 9 puntos (tal como nos pide el problema) se cumple OG/O'G=2. Como no encontre Menelao lo resolvi asi:
https://ibb.co/P5345X4
dibu1.png
(si esta bien, dejo abierto a q otro proponga)
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Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

BrunZo

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por BrunZo » Dom 31 Mar, 2019 10:24 am

ricarlos escribió:
Sab 30 Mar, 2019 11:43 pm
Solucion 106
Spoiler: mostrar
Sea $P$ la proyeccion de $N$ sobre $AC$ y $Q= PN\cap \omega$
Es conocido que $KLP$ es la recta de Simson. Una de las propiedades de esta recta es que $BQ\parallel KLP$.
Sean $O$ el centro de $\omega$ y $\angle NOM =\alpha$, entonces $\angle BON =2\alpha$ y $\angle BQN= \alpha$. Entonces $KLP\parallel ON$
Sean,
$R= AC\cap BQ$
$S= AC\cap OQ$
$T= AC\cap MO$
$U= AC\cap NO$
$G$ baricentro de $ABC$
$O'= OG\cap KLP$
Sabemos que si O' es el centro del circulo de 9 puntos (tal como nos pide el problema) se cumple OG/O'G=2. Como no encontre Menelao lo resolvi asi:
https://ibb.co/P5345X4
dibu1.png
Está bien, pero creo que diste un poco de vueltas de más. Fijate que
Spoiler: mostrar
si demostras $KL\parallel ON$ ya estás: Sabiendo que la recta de Simson $KL$ pasa por el punto medio de $HN$ (donde $H$ es el ortocento), tenés que $KL$ es base media de $HNO$, por lo que pasa por el punto medio de $HO$, que es el nine-point-center $N_9$.
Y con eso estás.
ricarlos escribió:
Sab 30 Mar, 2019 11:43 pm
dejo abierto a q otro proponga

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 31 Mar, 2019 10:37 am

Problema 107

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. Sean $\Gamma$ su circuncírculo, $O$ su circuncentro, $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio del lado $BC$. La recta $AM$ corta nuevamente a $\Gamma$ en $N$, y la circunferencia de diámetro $AM$ corta nuevamente a $\Gamma$ en $P$.
Demostrar que $AP$, $BC$ y $OH$ son concurrentes si y sólo si $AH=HN$.
[math]

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Fran5

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Fran5 » Lun 01 Abr, 2019 5:09 pm

Solucion 107
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Sea $U$ la intersección de $AP$ con $BC$. Sea $D$ el pie de la altur de $A$ a $BC$ y $H'$ el reflejo de $H$ por $M$.

Es conocido que $AH'$ es un diámetro de $\Gamma$, con lo cual $APM = 90 = APH'$, de modo que $P,H,M,H'$ están alineados.

Luego, como $AP$ es perpendicular a $HM$ y $MD$ es perpendicular a $AH$, tenemos que $U$ es el ortocentro de $AHM$.

FInalmente, $U$ está en $OH$ si y sólo si $OU$ es perpendicular a $AM$, si y sólo si $OU$ es perpendicular a $AN$ si y sólo si $U$ está en la mediatriz de $AN$ si y sólo si $H$ lo está si y sólo si $AH = NH$, QED.
Problema 108 En un triángulo $ABC$ se marcan las bisectrices de $B$ y $C$, que cortan a $AC$ y $AB$ en $D$ y $E$ respectivamente. Si $\angle BDE = 24$ y $\angle CED = 18$, hallar los ángulos de $ABC$
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