Bueno lo primero es determinar el largo de la diagonal $d$ usando el teorema de Pitágoras: $d= \sqrt{9^2+12^2}=15$
Después trazamos la otra diagonal y calculamos el valor de los ángulos que forman ambas diagonales con la fórmula $sin(\theta)=2A/d^2$ donde $A$ es el área del rectángulo. Obteniendo así como resultado que $\theta=73$. Sabemos que este ángulo forma un triángulo isósceles junta a los ángulos adyacentes a los que forman a las diagonales, por lo tanto el valor de la misma es de $53^o$, teniendo su ángulo adyacente $37^o$. Sabiendo que los triángulos formados dentro del rectángulo poseen ángulos con las medidas 90, 53 y 37, podemos concluir que son todos semejantes. Después de eso sacamos la relación de semejanza dividiendo las hipotenusas con la diagonal. $12/15=4/5$ los más grandes y $9/15=3/5$. Con esto calculamos las medidas de los triángulos: Los más grandes $H=12, C_1=7.2 , C_2=9.6$ y los más chicos $H=9, C_1=5,4, C_2=7.2$. Reflejamos los lados de los triángulos y procedemos a sumar las medidas que forman sus lados. Base: $7.2+7.2=14.4$ y Altura $9.6+5.4=15$
Verificamos comparando el área del rectángulo y la suma de la de los triángulos. $14.4 . 15 = 2(69.12+38.88)=216$
Por lo tanto podemos concluir que las medidas de la hoja son $14.4 \times 15$
Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos:
– y = ax2 + bx + c
– ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos.
– A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !
Sean $ABCD$ los vértices del rectángulo, empezando por el superior izquierdo, y sean $P$ y $Q$ sobre la diagonal $BD$ los puntos donde se juntan los pliegues, con $P$ más cercano a $D$ y $Q$ entre $P$ y $B$. Empezamos viendo que $BD=\sqrt{9^2+12^2}=15$, por ser diagonal del rectángulo. Luego, sabemos que $AP \perp DB$ y $CQ \perp DB$ porque por enunciado, la hoja inicial era rectangular y por ende $\angle{APD}=\angle{APB}=\angle{DQC}=\angle{CQB}=90°$. Sea $\angle{CDQ}=x$, entonces $\angle{DBC}=90°-x$, y en $\triangle{BQC}$ tenemos ángulos $90°$ y $90°-x$, por lo que $\angle{BCQ}=x$, por lo que además $\angle{QCD}=90°-x$. Luego, $\triangle{QCD}$ y $\triangle{BQC}$ son proporcionales.
Entonces, tenemos que $\frac{QC}{12}=\frac{QB}{9}$, por lo que $QC=\frac{4QB}{3}$. Además, tenemos que $\frac{QC}{QB}=\frac{15-QB}{QC}$ reemplazando $QC=\frac{4QB}{3}$ tenemos que $\frac{4}{3}=\frac{15-QB}{\frac{4QB}{3}}$, y de esta ecuación, $\frac{16QB}{9}=15-QB$, $\frac{25QB}{9}=15$ y finalmente, $QB=\frac{9*15}{25}=5,4$. Como sabemos cuanto vale $QB$, tenemos que $QC=\frac{4*5,4}{3}=7,2$. Sea $X$ el reflejo de $Q$ respecto a $BC$ y sea $Y$ el reflejo de $Q$ respecto a $DC$. Como $QC=XC=XY$, tenemos que $XY=14,4$.
Utilizando el mismo procedimiento que antes en $\triangle{ADB}$, llegamos a que $\triangle{APD}$ es proporcional a $\triangle{APB}$, y por lo tanto, $\frac{PA}{12}=\frac{PD}{9}$ y $PA=\frac{4PD}{3}$. Planteamos nuevamente $\frac{PA}{PD}=\frac{15-PD}{PA}$ y ya sabemos que reemplazando $PA=\frac{4PD}{3}$ llegamos a $PD=5,4$ y $PA=7,2$. Sea $Z$ el reflejo de $P$ respecto a $AD$. Tenemos que $DY=DQ=15-5,4=9,6$ y $ZD=PD=5,4$, por lo que $YZ=15-5,4+5,4=15$. Luego, las dimensiones de la hoja antes de plegarse eran de $XY \times YZ=14,4 \times 15$. $\blacksquare$
Aunque no lo parezca a veces hago bien los problemas
