Evan Chen - EGMO P1.6

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Tomás Morcos Porras

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Evan Chen - EGMO P1.6

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras » Jue 27 Feb, 2020 7:01 pm

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en una circunferencia $\omega$. Mostrar que $\overline{AC} \perp \overline{BC}$ si y sólo si $\overline{AB}$ es un diámetro de $\omega$.
Sale con restos cuadráticos módulo $2$.

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Sandy

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Re: Evan Chen - EGMO P1.6

Mensaje sin leer por Sandy » Jue 27 Feb, 2020 8:14 pm

Tomás Morcos Porras escribió:
Jue 27 Feb, 2020 7:01 pm
Sea $ABC$ un triángulo inscrito en una circunferencia $\omega$. Mostrar que $\overline{AC} \perp \overline{BC}$ si y sólo si $\overline{AB}$ es un diámetro de $\omega$.
Si sabés mostrar que el ángulo central es el doble del arco que contiene, tenés que si el arco que contiene es de $90°$, el ángulo central es de $90°\times 2=180°$, por lo que es un diámetro, y vale viceversa :D
1  
$u=tan\left(\frac{x}{2}\right)$
$\frac{2}{1+u^2}du=dx$

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¿hola?

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Re: Evan Chen - EGMO P1.6

Mensaje sin leer por ¿hola? » Jue 27 Feb, 2020 11:48 pm

El lugar geométrico de Thales
Yes, he who

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Tomás Morcos Porras

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Re: Evan Chen - EGMO P1.6

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras » Mié 04 Mar, 2020 4:43 am

Hoy volví a ver la figura y me salió la solución bien, y ahora estoy seguro de que la puedo probar. Xd
Spoiler: mostrar
Primera parte: Si $\overline{AB}$ es un diámetro de una circunferencia $\omega$ y $C$ algún punto en esta, $ABC$ es un triángulo rectángulo.
Demostración:
Spoiler: mostrar
Sea $O$ el centro de la circunferencia. Como $\overline{AO}$, $\overline{BO}$ y $\overline{CO}$ son radios de $\omega$, miden lo mismo y forman dos triángulos isósceles, $ACO$ y $BOC$ (Porque $A$, $B$ y $O$ son colineales). De ahí, $A\hat{C}O=O\hat{A}C=\alpha$ tal que $180°-C\hat{O}A=2\alpha$, y $C\hat{B}O=O\hat{C}B=\beta$ tal que $180°-B\hat{O}C=2\beta$. $B\hat{O}C+C\hat{O}A+A\hat{O}B=360$ Porque es una vuelta completa a $O$. $A$, $B$ y $O$ son colineales, así que $A\hat{O}B$ es $180°$, entonces $A\hat{O}B=180-B\hat{O}C+180°-C\hat{O}A=2\alpha+2\beta=180°$, de donde $\alpha+\beta=90°$. Por último, $A\hat{C}O=\alpha$ y $O\hat{C}B=\beta$, por lo que $A\hat{C}B=\alpha+\beta=90°$ y $ABC$ es rectángulo.
Segunda parte: Si un triángulo rectángulo $ABC$ con $\overline{AC}\perp \overline{BC}$ está inscrito a una circunferencia $\omega$, $\overline{AB}$ es diámetro de $\omega$.
Demostración:
Spoiler: mostrar
Las mediatrices de $\overline{BC}$ y $\overline{AC}$ son obviamente perpendiculares, y se cruzan en el circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita a $ABC$, es decir, el centro de $\omega$. Como dichas mediatrices son además bases medias, podemos inferir que se cruzan en el centro $O$ de $AB$, de manera que $O$ es el centro de $\omega$, y $A$, $B$ y $O$ son colineales, así que $\overline{AB}$ es diámetro.
Le tengo bastante fe a esta solución. ¿Ustedes dicen que está bien? ¿Se puede obviar algo? ¿Me faltó algo? Gracias desde ya.
Sale con restos cuadráticos módulo $2$.

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