OMEO 2020 NC P3

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Sandy

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OMEO 2020 NC P3

Mensaje sin leer por Sandy » Vie 07 Feb, 2020 1:23 pm

Sea $ABCD$ un cuadrilátero con circunferencia inscrita $ω$ tal que las semirectas $AB$ y $DC$ se cortan en $E$, las semirectas $AD$ y $BC$ se cortan en $F$ y las rectas $AC$ y $EF$ se cortan en $P$. Sea $T$ el punto en $ω$ más cercano a la recta $EF$.
Demostrar que el incentro del triángulo $CEF$ cae sobre la recta $PT$.

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Joacoini

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Re: OMEO 2020 NC P3

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 08 Feb, 2020 3:54 pm

El dibujo no cierra en geogebra.

Ya esta, la parte de semirecta no es solo para que haya menos cosas en el dibujo.
Última edición por Joacoini el Sab 08 Feb, 2020 4:54 pm, editado 1 vez en total.
NO HAY ANÁLISIS.

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¿hola?

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Re: OMEO 2020 NC P3

Mensaje sin leer por ¿hola? » Sab 08 Feb, 2020 4:05 pm

Joacoini escribió:
Sab 08 Feb, 2020 3:54 pm
El dibujo no cierra en geogebra.
Tenés que cliquear sobre la cruz de el marco de la ventana o podes apretar control+w si estás en Google.
3  
Yes, he who

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Gianni De Rico

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Re: OMEO 2020 NC P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 08 Feb, 2020 4:25 pm

Joacoini escribió:
Sab 08 Feb, 2020 3:54 pm
El dibujo no cierra en geogebra.
Hint
Spoiler: mostrar
$TT\parallel EF$
Con eso cierra perfecto.
Queda Elegantemente Demostrado

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Joacoini

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Re: OMEO 2020 NC P3

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 11 Feb, 2020 3:31 pm

Solución
Spoiler: mostrar
El Turko tiene su oda al Teorema del Coseno, está es mi oda a la Homotecia.


Sean $O$, $I$, $U$ y $V$ el centro de la circunferencia inscrita a $ABCD$, el incentro de $ECF$, el incentro de $EAF$ y el $A$-excentro de $EAF$, respectivamente.

Sean $\omega_O$, $\omega_I$, $\omega_U$ y $\omega_V$ las circunferencias descritas anteriormente.

Sean $S$ $S'$, $R$ y $R'$ el punto de tangencia de $\omega_U$ con $EF$ y su antípoda y el punto de tangencia de $\omega_V$ con $EF$ y su antípoda.

Veamos que $\omega_I$ es tangente a $EF$ en $S$, para esto bastaría con ver que $FS=\frac{EF+CF-CE}{2}$.

Sean $K$, $L$, $M$ y $N$ los puntos de tangencia de $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ con $\omega_O$ respectivamente.

$FS=\frac{EF+AF-AE}{2}=\frac{EF+FK+KA-AN-NF}{2}=\frac{EF+LF-ME}{2}=\frac{EF+CF+CL-CE-CM}{2}=\frac{EF+CF-CE}{2}$

Si $T'$ es el centro de la homotecia positiva que manda a $\omega_I$ a $\omega_V$ tenemos que $T', S, R'$ son colineales y $T', S', R$ son colineales.

$A$ es el centro de la homotecia positiva que manda a $\omega_O$ a $\omega_U$ por lo que $A, T, S$ son colineales y como $A$ también es el centro de la homotecia positiva que manda a $\omega_U$ a $\omega_V$ tenemos que $A, T, S, R'$ son colineales.

$C$ es el centro de la homotecia negativa que manda a $\omega_O$ a $\omega_I$ por lo que $C, T, S'$ son colineales y como $C$ también es el centro de la homotecia positiva que manda a $\omega_I$ a la circunferencia $C$-exinscrita de $ECF$ la cual es tangente a $EF$ en $R$ ya que $ER=FS$ tenemos que $C, T, S', R$ son colineales.

Como $T$ es la intersección de $SR'$ con $S'R$ tenemos que $T=T'$ por lo que $V, I, T$ son colineales.

Lema

Sean $\omega_1$, $\omega_2$ y $\omega_3$ tres circunferencias y sean $X$, $Y$ y $Z$ tales que $X$ es el centro de la homotecia negativa que manda a $\omega_1$ a $\omega_2$, $Y$ es el centro de la homotecia negativa que manda a $\omega_2$ a $\omega_3$ y $Z$ el centro de la homotecia positiva que manda a $\omega_3$ a $\omega_1$ entonces $X, Y, Z$ son colineales.

Demostración:
Spoiler: mostrar
Sean $O_1$, $O_2$ y $O_3$ y $r_1, r_2, r_3$ los centros y los radios de las tres circunferencias respectivamente.

$X$ esta en el segmento $O_1O_2$, $Y$ esta en el segmento $O_2O_3$ y $Z$ en la prolongación del segmento $O_3O_1$.

$\frac{O_1X}{XO_2}\cdot\frac{O_2Y}{YO_3}\cdot\frac{O_3Z}{ZO_1}=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{r_2}{r_3}\cdot\frac{r_3}{r_1}=1$

Por reciproco de Menelao $X, Y, Z$ son colineales.
El centro de la homotecia negativa que manda a $\omega_I$ a $\omega_V$ esta en la recta $EF$.

Por el lema tomando $\omega_1=\omega_V$, $\omega_2=\omega_I$ y $\omega_3=\omega_O$ tenemos que el centro de la homotecia negativa que manda a $\omega_I$ a $\omega_V$ esta en la recta $AC$, pero la intersección de $EF$ con $AC$ es $P$ por lo que $P$ es el centro de esta homotecia y $V, P, I$ son colineales y como $V, I, T$ son colineales tenemos que $P, I, T$ son colineales y estamos.
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NO HAY ANÁLISIS.

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