Un teodolito determina que desde el punto del suelo

Olivian
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Un teodolito determina que desde el punto del suelo

Mensaje sin leer por Olivian » Vie 04 Oct, 2019 8:40 pm

Un teodolito determina que desde el punto del suelo hasta la cima de una montaña hay un ángulo de elevación de 30º. Si luego el teodolito se ubica 200 m mas cerca de la montaña, el ángulo de elevación es de 45º. ¿cual es la altura de la montaña?

ricarlos
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Re: Un teodolito determina que desde el punto del suelo

Mensaje sin leer por ricarlos » Vie 04 Oct, 2019 9:16 pm

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sen(15)/200 = sen(30)/hipo (teorema seno)
altura = hipo/raiz(2)
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

HelcsnewsXD

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Re: Un teodolito determina que desde el punto del suelo

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Vie 04 Oct, 2019 9:23 pm

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Para resolver este problema, podemos considerar una recta λ1 en la cual se ubican tres puntos, A, C y D, de modo que AC=200m. Además de esto, la montaña es representada por la recta ortogonal a λ1 de modo que contenga a D, siendo B el "pico" de la montaña. Por esto, tendríamos que <DAB=30°, <DCB=45° y <ADB=90°.
Ahora hay dos formas de resolverlo, una aburrida (trigonometría) y otra más o menos divertida. Haremos la última.
Para esto tenemos que, en el triángulo CDB, si consideramos su SAI (sumatoria de ángulos internos), <DBC=45°, siendo un triángulo isósceles con CD=DB. Además, si tomamos DAB, tenemos que <DBA=60°, siendo este triángulo un medio equilátero. Por esta razón, queda lo siguiente por Pitágoras:
AB^2=BD^2+AD^2 --> (2AB)^2=BD^2+(200+BD)^2 --> 4*BD^2=BD^2+200^2+2*200BD+BD^2 --> 2*BD^2-400BD-200^2=0
Por esto es que solo queda aplicar Bhaskara, de donde obtenemos que BD=273,2050808m v -73,20508078m. Y como la distancia no puede ser negativa, tenemos que la respuesta es que la montaña tiene una altura total de 273,2050808m

HelcsnewsXD

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Re: Un teodolito determina que desde el punto del suelo

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Vie 04 Oct, 2019 9:31 pm

ricarlos escribió:
Vie 04 Oct, 2019 9:16 pm
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sen(15)/200 = sen(30)/hipo (teorema seno)
altura = hipo/raiz(2)
Fijate que ahí estás calculando la hipotenusa del triángulo del que querés saber el cateto. Es decir, la fórmula según lo que planteás sería:
sin(15°)/200=sin(30°)/Hipotenusa --> Hipotenusa=(200*sin30°)/sin15°
sin90°/Hipotenusa=sin45°/Altura --> Altura=(sin45°*sin30°*200)/(sin90°*sin15°)=273,2050808m

Olivian
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Re: Un teodolito determina que desde el punto del suelo

Mensaje sin leer por Olivian » Vie 04 Oct, 2019 9:41 pm

Tengo una duda se puede resolver con la tangente

HelcsnewsXD

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Re: Un teodolito determina que desde el punto del suelo

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Vie 04 Oct, 2019 9:48 pm

Olivian escribió:
Vie 04 Oct, 2019 9:41 pm
Tengo una duda se puede resolver con la tangente
Podés resolverla ya sabiendo que BD=CD, es decir, viendo que CBD es isósceles. Se hace del siguiente modo:
tg30°=BD/AD --> tg30°=BD/(200+BD) --> 200*tg30°+BD*tg30°=BD --> 200*tg30°=BD(1-tg30°) --> (200*tg30°)/(1-tg30°)=BD

BrunZo

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Re: Un teodolito determina que desde el punto del suelo

Mensaje sin leer por BrunZo » Vie 04 Oct, 2019 10:06 pm

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Vos tenés un segmento $AB=200$ y un punto $P$ afuera. Si $C$ es la proyección de $P$ en $AB$, entonces $\angle PAC=30^{\circ}$ y $\angle PAC=45^{\circ}$.
Como $ACP$ es medio equilátero (porque tiene un ángulo recto y uno de $30^{\circ}$), entonces $AC=\sqrt{3}\cdot CP$.
Como $BCP$ es rectángulo isósceles (porque tiene un ángulo recto y uno de $45^{\circ}$), vale que $BC=CP$
Es decir,
$$AC=AB+BC=200+BC\Longrightarrow \sqrt{3}\cdot CP=200+CP\Longrightarrow CP=\frac{200}{\sqrt{3}-1}$$
Que es el valor que nos interesa.
2  

ricarlos
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Re: Un teodolito determina que desde el punto del suelo

Mensaje sin leer por ricarlos » Vie 04 Oct, 2019 10:15 pm

HelcsnewsXD escribió:
Vie 04 Oct, 2019 9:31 pm
ricarlos escribió:
Vie 04 Oct, 2019 9:16 pm
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sen(15)/200 = sen(30)/hipo (teorema seno)
altura = hipo/raiz(2)
Fijate que ahí estás calculando la hipotenusa del triángulo del que querés saber el cateto. Es decir, la fórmula según lo que planteás sería:
sin(15°)/200=sin(30°)/Hipotenusa --> Hipotenusa=(200*sin30°)/sin15°
sin90°/Hipotenusa=sin45°/Altura --> Altura=(sin45°*sin30°*200)/(sin90°*sin15°)=273,2050808m
No se porque me la hiciste mas largo de lo que yo le propuse a Olivian si al final te da lo mismo que a mi.
Despejas la variable "hipo" y al resultado lo divides por raiz de 2, eso es todo.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

HelcsnewsXD

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Re: Un teodolito determina que desde el punto del suelo

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Vie 04 Oct, 2019 10:27 pm

ricarlos escribió:
Vie 04 Oct, 2019 10:15 pm
HelcsnewsXD escribió:
Vie 04 Oct, 2019 9:31 pm
ricarlos escribió:
Vie 04 Oct, 2019 9:16 pm
Spoiler: mostrar
sen(15)/200 = sen(30)/hipo (teorema seno)
altura = hipo/raiz(2)
Fijate que ahí estás calculando la hipotenusa del triángulo del que querés saber el cateto. Es decir, la fórmula según lo que planteás sería:
sin(15°)/200=sin(30°)/Hipotenusa --> Hipotenusa=(200*sin30°)/sin15°
sin90°/Hipotenusa=sin45°/Altura --> Altura=(sin45°*sin30°*200)/(sin90°*sin15°)=273,2050808m
No se porque me la hiciste mas largo de lo que yo le propuse a Olivian si al final te da lo mismo que a mi.
Despejas la variable "hipo" y al resultado lo divides por raiz de 2, eso es todo.
Sí, es que había calculado mal y me daba un número más grande, por eso

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