Sea $ABC$ un triángulo de lados $AC=BC=10$ y $AB=12$. Se pinta de rojo todos los puntos $X$ en los lados del triángulo $ABC$ tales que la distancia de $X$ al vértice $A$ es menor que la distancia de $X$ al vértice $C$. Determinar la longitud de los segmentos rojos.
En el lado AC se pinta de rojo desde el punto medio hasta el vértice A (el segmento rojo mide 5).
En el lado BC no se pinta nada de rojo porque en el vértice B la distancia a A es 12 y a C es 10. El resto de los puntos están en línea recta hacia C, por lo que ninguno va a estar más cerca de A que de C.
En el lado AB podemos hallar el punto donde AX = CX si trazamos la altura CD. Por Pitágoras, AD² + CD² = AC². Esto es, 6² + CD² = 10². Por lo tanto, CD = 8.
Ahora, si llamamos X al punto en AB tal que AX = CX, podemos plantear las siguientes igualdades:
Trazamos la recta mediatriz en el lado $\overline{ac}$ que corta a $\overline{ac}$ en el punto $m$ y a $\overline{ab}$ en el punto $n$.
Como la mediatriz representa todos los puntos equidistantes a los extremos de un segmento, se puede decir que todo punto que este en el mismo semiplano que $a$ respecto a la mediatriz estará más cerca de $a$ que de $c$.
Trazamos la altura desde $\overline{ab}$ que corta al lado en el punto $o$.
como $\overline{ac}$ = $\overline{bc}$ entonces los angulos $a\hat{b}c$ y $b\hat{a}c$ tambien los son por ser un triangulo isóceles.
entonces el triangulo $amn$ es semejante al triangulo $ocb$ de modo que:
$\frac{\overline{am}}{\overline{bo}}$ = $\frac{\overline{an}}{\overline{bc}}$
nos queda que:
$\frac{5}{6}$ = $\frac{\overline{an}}{10}$
por lo que el segmento $\overline{an}$ = $\frac{25}{3}$ y el segmento $\overline{am}$ = 5
Última edición por Agustin Azar el Jue 12 Sep, 2019 10:03 pm, editado 1 vez en total.
En el punto $B$ la distancia a $C$ es menor que la distancia a $A$. Ahora, para que haya un punto rojo en $BC$, yo debería tomar un punto $D$ sobre $BC$ tal que la distancia desde $D$ a $C$ sea mayor que la distancia desde $D$ a $A$.
La diferencia entre la distancia desde $B$ a $C$ y la distancia desde $D$ a $C$ es: $BC - DC = BD$
La diferencia entre la distancia desde $B$ a $A$ y la distancia desde $D$ a $A$ es: $BA - DA$
Ahora, para que haya un punto rojo en $BC$ tiene que pasar que $BA - DA > BD$, porque la distancia a $A$ se tiene que achicar más que la distancia a $C$. Esta condición es equivalente a que se tenga que cumplir que $BA > DA + BD$. Pero $BA$, $DA$ y $BD$ son lados de un triángulo, luego por desigualdad triangular, esto nunca se cumple.
La desigualdad$$XA<XC$$es una desigualdad lineal. Como todos los puntos de la mediatriz de $AC$ verifican la igualdad, y tomando $X\equiv A$ se tiene$$XA=AA=0<10=AC=XC$$entonces los puntos que cumplen con la desigualdad son los que pertenecen al mismo semiplano que $A$ respecto a la mediatriz de $AC$.
Sean $M$ y $N$ los puntos de intersección de la mediatriz de $AC$ con los segmentos $AC$ y $AB$, respectivamente ($N$ está en el segmento $AB$ pues $BA=12>10=BC$). Entonces, como los puntos $X$ están sobre los lados de $ABC$, tenemos que son todos los puntos pertenecientes a los segmentos $AM$ y $AN$, distintos de $M$ y $N$.
Como $N$ está sobre la mediatriz de $AC$, tenemos que $AN=NC$, de donde $\angle ACN=\angle NAC=\angle BAC$. Como $AC=BC=10$, entonces $\angle BAC=\angle CBA=\angle CBN$, es decir, $\angle ACN=\angle CBN$. Por lo tanto, $AC$ es tangente al circuncírculo de $CBN$, de donde $100=AC^2=\text{Pot}(A,\odot CBN)=AB\cdot AN=12\cdot AN$, por lo que $AN=\frac{100}{12}=\frac{25}{3}$.
Como $M$ está sobre $AC$ y su mediatriz, entonces $M$ es el punto medio de $AC$, de donde $AM=\frac{10}{2}=5$.
Como un punto no tiene dimensión (por definición de punto), tenemos entonces que las longitudes de los segmentos rojos son $5$ y $\frac{25}{3}$.
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Trazamos la recta mediatriz en el lado $\overline{ac}$ que corta a $\overline{ac}$ en el punto $m$ y a $\overline{ab}$ en el punto $n$.
Como la mediatriz representa todos los puntos equidistantes a los extremos de un segmento, se puede decir que todo punto que este en el mismo semiplano que $a$ respecto a la mediatriz estará más cerca de $a$ que de $c$.
Trazamos la altura desde $\overline{ab}$ que corta al lado en el punto $o$.
como $\overline{ac}$ = $\overline{bc}$ entonces los angulos $a\hat{b}c$ y $b\hat{a}c$ tambien los son por ser un triangulo isóceles.
entonces el triangulo $amn$ es semejante al triangulo $ocb$ de modo que:
$\frac{\overline{am}}{\overline{bo}}$ = $\frac{\overline{an}}{\overline{bc}}$
nos queda que:
$\frac{5}{6}$ = $\frac{\overline{an}}{10}$
por lo que el segmento $\overline{an}$ = $\frac{25}{3}$ y el segmento $\overline{am}$ = 5
Una alternativa a esta solución, llegando hasta marcar el punto $n$ se traza también el segmento $cn$, como la mediatriz trazada es mediatriz y altura del triángulo $anc$ con base $ac$ entonces $anc$ es isósceles $an=nc$, se remata con Teorema de Stewart en $abc$ con ceviana $nc$
Interpretación de la mediatriz como lugar geométrico
Fórmula para calcular los lados de un triángulo pedal
Formula de Herón
Como calcular el área de un triángulo en base a su circunradio y sus lados
Teorema de Pitágoras
Sea $M$ el punto medio del segmento $AC$. Sea $D$ el punto donde se cruzan la mediatriz del segmento $AC$ y el lado $AB$. Sea $E$ el punto sobre el lado $BC$ tal que las rectas $DE$ y $BC$ sean perpendiculares.
Comprendiendo que la mediatriz del segmento $AC$ es el conjunto de puntos que equidistan de $A$ y $C$, es fácil ver que los puntos que están en el semiplano que forma dicha mediatriz y contiene al vértice $A$ del triángulo $ABC$ son los puntos que están más cerca de $A$ que de $C$, pero solo nos interesan los que están sobre el triángulo $ABC$, luego queremos calcular la longitud de los segmentos $AM$ y $AD$. Teniendo en claro cual es nuestro objetivo comenzamos con la magia.
Comencemos viendo que $AC=10$ por enunciado, como $M$ es punto medio de $AC$ tenemos que $CM=AM=5$, luego solo nos resta calcular $AD$.
Notemos que la perpendicular a $AB$ por $D$ cae en $D$, la perpendicular a $AC$ por $D$ cae en $M$ y la perpendicular a $BC$ por $D$ cae en $E$, luego $MDE$ es un triángulo pedal con punto pedal $D$. Entonces por propiedades de los triángulos pedales tenemos que:
$\frac{MD}{AD}=\frac{BC}{2R}=\frac{5}{R}$, siendo $R$ la longitud del circunradio del triángulo $ABC$.
Puntos sobre $AC$? Notemos que todo punto interior a $AM$ (siendo $M$ el punto medio de $AC$) esta mas cerca de $A$ que de $C$ y viceversa si esta dentro de $MC$. Luego tenemos que en este caso la longitud de segmentos rojos es $AM = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2}= 5$
Ahora vamos a usar el siguiente lema: Sea un triangulo tal que $AB \leq AC \leq BC$ luego $\angle C \leq \angle B \leq \angle A$
Puntos sobre $BC$? Supongamos que existe un punto rojo $X$ marcado sobre $BC$ luego tenemos que $AX < CX \to \angle ACX < \angle CAX$. Como $X$ esta sobre $BC$ tenemos que $\angle CAX \leq \angle CAB$. Luego debe ocurrir que:
$$ \angle ACB = \angle ACX < \angle CAX \leq \angle CAB \to AB < BC \to 12 < 10$$
Absurdo! Luego no hay puntos rojos sobre $BC$.
Puntos sobre $AB$? Sea $X$ un punto sobre $AB$, haciendo un razonamiento análogo en vez de mirar la desigualdad $AX < CX$ podemos mirar la desigualdad $\angle ACX < \angle CAX = \angle CAB$. Si vamos desplazando a $X$ desde $A$ a $B$ sobre el segmento, el valor de $\angle ACX$ va aumentando su valor mientras que el lado derecho $\angle CAB$ es fijo, luego el segmento rojo se corta cuando la desigualdad se rompe dando que $\angle ACX = \angle CAB$, por lo que $\triangle AXC$ y $\triangle ACB$ son semejantes resultando en que:
$$ \frac{AX}{AC} = \frac{AC}{AB} \to \frac{AX}{10} = \frac{10}{12} \to AX = \frac{25}{3}$$
Por lo que los segmentos rojos miden $5$ y $\frac{25}{3}$.