Problema 4 Nivel 1 Mayo 2019

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Turko Arias

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Problema 4 Nivel 1 Mayo 2019

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 26 Jul, 2019 3:01 am

Hay que dividir un papel cuadrado en tres partes, mediante dos cortes rectos, de modo que al ubicar estas partes de forma adecuada, sin huecos ni superposiciones, se forme un triángulo obtusángulo. Indicar como cortar el cuadrado y como armar el triángulo con las tres partes.
Nota: un triángulo es obtusángulo si uno de sus ángulos mide más de $90°$.

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1000i Elizalde

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Re: Problema 4 Nivel 1 Mayo 2019

Mensaje sin leer por 1000i Elizalde » Vie 26 Jul, 2019 3:58 am

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Llamamos $A$, $B$, $C$ y $D$ a los vértices del cuadrado, en ese orden, y $M$ al punto medio de $AD$.
Trazamos la diagonal $BD$ y nos queda dos triángulos isósceles iguales ($ABD$ y $BCD$), por ende $A\widehat{B}D=A\widehat{D}B=B\widehat{D}C=C\widehat{B}D=45^{\circ}$.
Ahora trazamos $BM$. Decimos que $M\widehat{B}D=\alpha$, entonces como $M\widehat{B}D=\alpha$ y $B\widehat{D}M=45^{\circ}$, y la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman $180^{\circ}$, deducimos que $B\widehat{M}D=135^{\circ}-\alpha$ y puesto que $B\widehat{M}D+A\widehat{M}B=180^{\circ}$, llegamos a que $A\widehat{M}B=45^{\circ}+\alpha$.

Entonces nos quedan $3$ triángulos, $ABM$, $BDM$ y $BCD$ y lo que hacemos es unir $AB$ con $CD$, $A$ con $D$ y $B$ con $C$ (miden lo mismo ya que los dos eran un lado del cuadrado), llamamos $E$ al punto donde cae $M$ y $J$ al punto donde cae $B$. Por ultimo unimos $DM$ con $DE$, $D$ con $D$ y $M$ con $E$ (miden lo mismo porque $M$ era punto medio de $AB$ entonces $AM=BM$).Como $J\widehat{D}E=B\widehat{D}C=45^{\circ}$ y $C\widehat{D}E=90^{\circ}$ afirmamos que $B$,$D$ y $J$ están alineados y como $C\widehat{E}D=45^{\circ}+\alpha$ y $D\widehat{E}J=135^{\circ}-\alpha$, $C$,$E$ y $J$ también lo están . Por ultimo, mirando el triángulo $BCJ$ observamos que $B\widehat{C}J$ es obtuso y estamos.
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