Uno con rectangulo para hacer cuentas

ricarlos
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Uno con rectangulo para hacer cuentas

Mensaje sin leer por ricarlos » Lun 01 Abr, 2019 11:50 pm

Sea $O$ un punto por fuera (pero en el plano) de un rectangulo $ABCD$.
Los lados del rectangulo cumplen la condicion $7BC=16AB$.
Ademas $OA=4$, $OB=3$ y $OC=5$. Calcular el area de $ABCD$.
1  
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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Gianni De Rico

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Re: Uno con rectangulo para hacer cuentas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 03 Abr, 2019 7:15 pm

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Nuestro querido Pitágoras puede ayudarnos nuevamente. (?)
[math]

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DiegoLedesma
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Re: Uno con rectangulo para hacer cuentas

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Dom 14 Abr, 2019 8:15 pm

Gianni De Rico escribió:
Mié 03 Abr, 2019 7:15 pm
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Nuestro querido Pitágoras puede ayudarnos nuevamente. (?)
Que no te engañe la terna 3,4,5.

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DiegoLedesma
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Re: Uno con rectangulo para hacer cuentas

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Dom 14 Abr, 2019 8:24 pm

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Sea P(x,y) el punto del plano en que concurren los 3 segmentos dados. Supongamos que tenemos 3 circunferencias con centros en $A,B,C$ y radios $4,3 \; y \; 5$ respectivamente, y que $A=(0,0)$. Al armar las ecuaciones de la $2ª$ y $3º$ circunferencia, obtenemos respectivamente: $(x-AB)^{2}+y^{2}=9$; $(x-AB)^{2}+(y-\frac{16}{7}AB)^{2}=25$...Fácil es ver que $(y-\frac{16}{7}AB)^{2}>y^{2}$, por lo que se deduce que $y$ es un número negativo, con lo que $P(x,y)$ estará en el $4º$ cuadrante del plano. Al observar entonces el gráfico construido (siendo $E$ el punto de intersección entre las rectas $AB$ y $CP$), se tiene que $\bigtriangleup$ $EPA$ $\sim$ $\bigtriangleup$ $EBP$. Sea $AE=a$ $\Rightarrow$ $BE=a-AB$. Observando que la razón de semejanza entre los lados de ambos triángulos es $\frac{4}{3}$,tenemos el sistema {$EP=\frac{4}{3}(a-AB)$,$EP=\frac{3}{4}a$. Resolviendo dicho sistema, se llega a que: $a=\frac{16}{7}AB$; $EP=\frac{12}{7}AB$ $\Rightarrow$ $BE=\frac{9}{7}AB$. Por Pitágoras en $\bigtriangleup$ $BCE$, se obtiene $CE=\frac{\sqrt{337}}{7}AB$ $\Rightarrow$ $EP=5-\frac{\sqrt{337}}{7}AB$.
Construyendo las razones de semejanza entre $\bigtriangleup$ $EPA$ y $\bigtriangleup$ $EBP$ e igualando: $\frac{\frac{16}{7}AB}{4}$=$\frac{5-\frac{\sqrt{337}}{7}AB}{3}$, con lo que se obtiene $AB=\frac{35\sqrt{337}-420}{193}$.
$\therefore$ $Área \; ABCD=\frac{16}{7}\left (\frac{35\sqrt{337}-420}{193}\right)^{2}\approx3,038.$

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Gianni De Rico

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Re: Uno con rectangulo para hacer cuentas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 14 Abr, 2019 9:40 pm

DiegoLedesma escribió:
Dom 14 Abr, 2019 8:15 pm
Gianni De Rico escribió:
Mié 03 Abr, 2019 7:15 pm
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Nuestro querido Pitágoras puede ayudarnos nuevamente. (?)
Que no te engañe la terna 3,4,5.
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No es eso, mi solución usaba analítica para calcular las distancias y todo eso (no leí la tuya, pero creo que son parecidas), pero como la distancia entre dos puntos del plano cartesiano se calcula utilizando el Teorema de Pitágoras, con un poco de esfuerzo y ganas, puede traducirse una solución analítica a una que use casi exclusivamente el Teorema de Pitágoras.
[math]

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