Selectivo Cono Sur 2019 P3

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Matías V5

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Selectivo Cono Sur 2019 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 28 Mar, 2019 9:31 pm

Sean $ABC$ un triángulo e $I$ el punto de intersección de sus bisectrices. Sea $\Gamma$ la circunferencia con centro $I$ que es tangente a los tres lados del triángulo y sean $D$ en $BC$ y $E$ en $AC$ los puntos de tangencia de $\Gamma$ con $BC$ y $AC$. Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AI$ y $DE$, y sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $AB$ respectivamente. Demostrar que $M$, $N$ y $P$ pertenecen a una recta.
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maxiR

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Re: Selectivo Cono Sur 2019 P3

Mensaje sin leer por maxiR » Jue 28 Mar, 2019 11:22 pm

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Supongamos que $ABC$ es acutángulo.
Lema:$\triangle APE\simeq\triangle BAI$
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Como $D$ y $E$ son puntos de tangencia $CD=CE$,$\angle PEA=90°+1/2\angle DCE$.
Como $I$ es el incentro de $ABC$,$\angle BIA=90°+1/2\angle BCA=90°+1/2\angle DCE$.Luego $\angle BIA=\angle PCA$,además como $AI$ es bisectriz de $\angle BAC$,$\angle BAI=\angle PAE$.En consecuencia $\triangle APE\simeq\triangle BAI$.
Solución:
Del lema se de deduce que $AI/AB=AE/AP$,ademas $\angle BAP=\angle IAE$.Entonces $\triangle AIE\simeq\triangle PBA$,$\angle IEA=\angle BPA=90°$.Por lo cual $BPA$ es rectángulo.Como $N$ es punto medio de $AB$,por propiedad de la mediana ,$BN=NP=NA$.En particular $ANP$ es isoceles, por lo cual $\angle PNA=180°-\angle NAP-\angle NPA=180°-2\angle NPA=180°-\angle NAE=180°-\angle NAC$.
Como $N$ y $M$ son puntos medios, $MN$ es base media, en consecuencia $\angle MNA=\angle PNA$.Luego $N,P$ y $M$ son colineales como queriamos ver.

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo Cono Sur 2019 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 29 Mar, 2019 1:18 am

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Sean $\angle A=2\alpha$, $\angle B=2\beta$ y $\angle C=2\gamma$. Notemos que $CD=CE$ pues son tangentes a $\Gamma$, luego $\angle CDE=\angle CED$, y como $\angle DCE=\angle C=2\gamma$, tenemos que $\angle CDE=\angle CED=90°-\gamma$. Por otro lado, $180°=\angle A+\angle B+\angle C=2\alpha +2\beta +2\gamma =2(\alpha +\beta +\gamma )\Rightarrow \alpha +\beta +\gamma =90°$, y como $\angle IAB=\alpha$ y $\angle IBA=\beta$, tenemos $\angle AIB=90°+\gamma$.
Sea $F$ el punto de tangencia de $\Gamma$ con $AB$, como $I$ es el centro de $\Gamma$ tenemos $\angle BDI=90°=\angle BFI$, luego $BDIF$ es cíclico, y su circuncírculo es $\omega$ (notemos que $BI$ es diámetro de $\omega$). Sea $P'$ la segunda intersección de $AI$ con $\omega$, luego $\angle AP'B=\angle IP'B=90°$. Ahora, como $BDP'I$ es cíclico tenemos $$\angle CDP'=180°-\angle BDP'=180°-(180°-\angle BIP')=\angle BIP'=180°-\angle ABI=180°-(90°+\gamma )=90°-\gamma =\angle CDE$$ entonces $D,P',E$ son colineales, es decir que $P'$ es el punto de intersección de $AI$ y $DE$, por lo tanto $P'=P$, entonces $\angle APB=\angle AP'B=90°$.
Sea $G$ el punto de intersección de las rectas $BP$ y $AC$. Entonces $\angle GAP=\angle CAI=\alpha =\angle IAB$, por lo que $AP$ es bisectriz de $\angle GAB$; y $\angle APB=90°$, por lo que $AP$ es altura de $\triangle GAB$. Luego, el triángulo $GAB$ es isósceles con $GA=AB$, por lo que $P$ es el punto medio de $BG$. Como $N$ es el punto medio de $AB$, tenemos que $NP$ es base media de $\triangle GAB$, es decir que $NP\parallel AG\parallel AC$. Como $M$ es el punto medio de $BC$, tenemos que $MP$ es base media de $\triangle GBC$, es decir que $MP\parallel GC\parallel AC$. Por lo tanto $NP\parallel MP$, es decir que $M,N,P$ están alineados.
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Turko Arias

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Re: Selectivo Cono Sur 2019 P3

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 29 Mar, 2019 1:50 am

Un tweet
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Por el Lema de Miguel $\angle APB=90$. Sea $\angle ABP= \alpha$, tenemos $\angle BAP=90- \alpha$. Sea $BP \cap AC= B'$, como $AI$ es bisectriz tenemos $\angle B'AP=90-\alpha$ de donde $ABP$ y $AB'P$ son iguales, por lo que $P$ es punto medio de $B'B$, de donde $NP//AB'//NM$ por base media, y por ende $M, N$ y $P$ están alineados $\blacksquare$
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Fran5

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Re: Selectivo Cono Sur 2019 P3

Mensaje sin leer por Fran5 » Vie 29 Mar, 2019 12:22 pm

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo Cono Sur 2019 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 29 Mar, 2019 2:28 pm

Fran5 escribió:
Vie 29 Mar, 2019 12:22 pm
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Imagen
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AKA Midline Concurrency Lemma
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Fran5

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Re: Selectivo Cono Sur 2019 P3

Mensaje sin leer por Fran5 » Vie 29 Mar, 2019 4:25 pm

Exacto, es un lema "conocido" que está en el apunte de Yufei Zhao

Aquí hay una transcripción que hice en 2015
viewtopic.php?f=6&t=3388

pero no me resistí a hacer el meme
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

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