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Intersecciones de un circulo y una elipse

Publicado: Dom 03 Mar, 2019 5:47 pm
por BrunZo
Mando un problemita que se me ocurrió a mí (¿quizás es conocido?):

Sea $\Gamma$ una elipse y $AB$, $CD$ dos cuerdas tales que las dos bisectrices de los ángulos comprendidos por $AB$ y $CD$ sean paralelas a los dos ejes de $\Gamma$. Demostrar que $A$, $B$, $C$, $D$ son concíclicos.

Re: Intersecciones de un circulo y una elipse

Publicado: Dom 03 Mar, 2019 8:41 pm
por Gianni De Rico
Si tenés paciencia para hacer las cuentas, con analítica sale. Aunque no viene mal un poco de tramposética en el medio.

Re: Intersecciones de un circulo y una elipse

Publicado: Dom 03 Mar, 2019 11:14 pm
por BrunZo
Gianni De Rico escribió:
Dom 03 Mar, 2019 8:41 pm
Si tenés paciencia para hacer las cuentas, con analítica sale. Aunque no viene mal un poco de tramposética en el medio.
Claro, pero las cuentas te quedan bastante engorrosas. No es indispensable usar analítica, hay una solución más o menos sintética. Por ejemplo, un paso crucial de la mía se basa en
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aplicar una transformación afín (a.k.a. achatamiento) que mapeé la elipse a un círculo, después trabajar con razones entre paralelas y usar potencia de un punto.
Es interesante intentar encontrar soluciones (relativamente) sintéticas a este tipo de problemas. :D

Re: Intersecciones de un circulo y una elipse

Publicado: Vie 08 Mar, 2019 8:37 am
por ricarlos
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Llamemos $O$ a la interseccion de las cuerdas.
Sea $X$ un punto de la elipse tal que la tangente a esta sea paralela a $AB$.
Sea $Y$ un punto de la elipse tal que la tangente a esta sea paralela a $CD$.
Es facil ver que estas tangentes intersectan sobre uno de los dos ejes de la elipse y forman un triangulo isosceles con su base paralela al otro eje (*). Sea $Z$ la interseccion de las tangentes.

Por Apolonio (**) se cumple que,

$\frac{ZX^2}{ZY^2}=\frac{OA(OB)}{OC(OD)}$

en este caso particular donde $ZX=ZY$ nos queda

$1=\frac{OA(OB)}{OC(OD)}$, es decir $OA(OB) = OC(OD)$

que es la potencia de un punto, asi que A, B, C y D son conciclicos.
elipse.gif
(*) La tg es la bisectriz del angulo q forman los radios vectores. Se podria argumentar esta propiedad para evitar "es facil ver".
(**) http://apolonio.es/guirnalda/apolonio-i ... et-carnot/

Re: Intersecciones de un circulo y una elipse

Publicado: Vie 08 Mar, 2019 9:31 pm
por BrunZo
Mi solución original es bastante similar a la de arriba, nada más que usa otra configuración para la aplicación de Apolonio, a saber
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Sean $A_1B_1$, $C_1D_1$ los diámetros paralelos a $AB$, $CD$ (por diámetro se entiende una cuerda que pase por el centro, la intersección de los ejes.) Entonces, siendo $O$ el centro de $\Gamma$ (también, la intersección de $A_1B_1$ y $C_1D_1$), por Apolonio tenemos
$$\frac{AP\cdot PB}{CP\cdot PD}=\frac{A_1O\cdot OB_1}{C_1O\cdot OD_1}=\frac{A_1O^2}{C_1O^2}=\frac{A_1B_1^2}{C_1D_1^2}$$
(*) Además, la condición de enunciado implica que $A_1B_1$, $C_1D_1$ son conjugados, o sea, $A_1B_1=C_1D_1$, y por potencia de un punto estamos. :D
Más aún, agrego una demostración (un poco rebuscada) de (*), que fue la que hallé:
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Sean $A_1B_1$, $C_1D_1$ los diámetros (repito: cuerdas que pasan por el centro) paralelos a $AB$, $CD$ que se intersecan en $O$, el centro. Aplicamos una transformación afín $\phi$ (básicamente, achatamos o estiramos con respecto a un eje) que transforme a la elipse en un círculo. Sabemos que las paralelas permanecen paralelas y las razones estre paralelas permanecen iguales. Luego,
$$\frac{\phi(AP)}{\phi(A_1B_1)}=\frac{AP}{A_1B_1},\quad \frac{\phi(BP)}{\phi(A_1B_1)}=\frac{BP}{A_1B_1}$$
cuyo producto es
$$\frac{\phi(AP)\cdot\phi(BP)}{\phi(A_1B_1)^2}=\frac{AP\cdot BP}{A_1B_1^2}$$
Similarmente,
$$\frac{\phi(CP)\cdot\phi(DP)}{\phi(C_1D_1)^2}=\frac{CP\cdot DP}{C_1D_1^2}$$
Usando potencia de un punto en el círculo $\phi(\Gamma)$ e igualdad de diámetros, tenemos que los lados izquierdos de los dos productos son iguales, entonces,
$$\frac{AP\cdot BP}{A_1B_1^2}=\frac{CP\cdot DP}{C_1D_1^2}$$
como queríamos.
(Me hago un poco de lío con las ratios, pero básicamente el argumento se basa en extender potencia de un punto de $\phi(\Gamma)$ a $\Gamma$.)
De todos modos, creo que hay soluciones algo más elementales que funcionan bien. :roll: