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Gianni De Rico escribió: ↑Dom 03 Mar, 2019 8:41 pm Si tenés paciencia para hacer las cuentas, con analítica sale. Aunque no viene mal un poco de tramposética en el medio.

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aplicar una transformación afín (a.k.a. achatamiento) que mapeé la elipse a un círculo, después trabajar con razones entre paralelas y usar potencia de un punto.

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Llamemos $O$ a la interseccion de las cuerdas.
Sea $X$ un punto de la elipse tal que la tangente a esta sea paralela a $AB$.
Sea $Y$ un punto de la elipse tal que la tangente a esta sea paralela a $CD$.
Es facil ver que estas tangentes intersectan sobre uno de los dos ejes de la elipse y forman un triangulo isosceles con su base paralela al otro eje (*). Sea $Z$ la interseccion de las tangentes.

Por Apolonio (**) se cumple que,

$\frac{ZX^2}{ZY^2}=\frac{OA(OB)}{OC(OD)}$

en este caso particular donde $ZX=ZY$ nos queda

$1=\frac{OA(OB)}{OC(OD)}$, es decir $OA(OB) = OC(OD)$

que es la potencia de un punto, asi que A, B, C y D son conciclicos.

elipse.gif

(*) La tg es la bisectriz del angulo q forman los radios vectores. Se podria argumentar esta propiedad para evitar "es facil ver".
(**) http://apolonio.es/guirnalda/apolonio-i ... et-carnot/

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Sean $A_1B_1$, $C_1D_1$ los diámetros paralelos a $AB$, $CD$ (por diámetro se entiende una cuerda que pase por el centro, la intersección de los ejes.) Entonces, siendo $O$ el centro de $\Gamma$ (también, la intersección de $A_1B_1$ y $C_1D_1$), por Apolonio tenemos
$$\frac{AP\cdot PB}{CP\cdot PD}=\frac{A_1O\cdot OB_1}{C_1O\cdot OD_1}=\frac{A_1O^2}{C_1O^2}=\frac{A_1B_1^2}{C_1D_1^2}$$
(*) Además, la condición de enunciado implica que $A_1B_1$, $C_1D_1$ son conjugados, o sea, $A_1B_1=C_1D_1$, y por potencia de un punto estamos.

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Sean $A_1B_1$, $C_1D_1$ los diámetros (repito: cuerdas que pasan por el centro) paralelos a $AB$, $CD$ que se intersecan en $O$, el centro. Aplicamos una transformación afín $\phi$ (básicamente, achatamos o estiramos con respecto a un eje) que transforme a la elipse en un círculo. Sabemos que las paralelas permanecen paralelas y las razones estre paralelas permanecen iguales. Luego,
$$\frac{\phi(AP)}{\phi(A_1B_1)}=\frac{AP}{A_1B_1},\quad \frac{\phi(BP)}{\phi(A_1B_1)}=\frac{BP}{A_1B_1}$$
cuyo producto es
$$\frac{\phi(AP)\cdot\phi(BP)}{\phi(A_1B_1)^2}=\frac{AP\cdot BP}{A_1B_1^2}$$
Similarmente,
$$\frac{\phi(CP)\cdot\phi(DP)}{\phi(C_1D_1)^2}=\frac{CP\cdot DP}{C_1D_1^2}$$
Usando potencia de un punto en el círculo $\phi(\Gamma)$ e igualdad de diámetros, tenemos que los lados izquierdos de los dos productos son iguales, entonces,
$$\frac{AP\cdot BP}{A_1B_1^2}=\frac{CP\cdot DP}{C_1D_1^2}$$
como queríamos.
(Me hago un poco de lío con las ratios, pero básicamente el argumento se basa en extender potencia de un punto de $\phi(\Gamma)$ a $\Gamma$.)