Intersecciones de un circulo y una elipse

BrunZo

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Intersecciones de un circulo y una elipse

Mensaje sin leer por BrunZo »

Mando un problemita que se me ocurrió a mí (¿quizás es conocido?):

Sea $\Gamma$ una elipse y $AB$, $CD$ dos cuerdas tales que las dos bisectrices de los ángulos comprendidos por $AB$ y $CD$ sean paralelas a los dos ejes de $\Gamma$. Demostrar que $A$, $B$, $C$, $D$ son concíclicos.
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Gianni De Rico

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Re: Intersecciones de un circulo y una elipse

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Si tenés paciencia para hacer las cuentas, con analítica sale. Aunque no viene mal un poco de tramposética en el medio.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
BrunZo

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Re: Intersecciones de un circulo y una elipse

Mensaje sin leer por BrunZo »

Gianni De Rico escribió: Dom 03 Mar, 2019 8:41 pm Si tenés paciencia para hacer las cuentas, con analítica sale. Aunque no viene mal un poco de tramposética en el medio.
Claro, pero las cuentas te quedan bastante engorrosas. No es indispensable usar analítica, hay una solución más o menos sintética. Por ejemplo, un paso crucial de la mía se basa en
Spoiler: mostrar
aplicar una transformación afín (a.k.a. achatamiento) que mapeé la elipse a un círculo, después trabajar con razones entre paralelas y usar potencia de un punto.
Es interesante intentar encontrar soluciones (relativamente) sintéticas a este tipo de problemas. :D
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ricarlos
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Re: Intersecciones de un circulo y una elipse

Mensaje sin leer por ricarlos »

Spoiler: mostrar
Llamemos $O$ a la interseccion de las cuerdas.
Sea $X$ un punto de la elipse tal que la tangente a esta sea paralela a $AB$.
Sea $Y$ un punto de la elipse tal que la tangente a esta sea paralela a $CD$.
Es facil ver que estas tangentes intersectan sobre uno de los dos ejes de la elipse y forman un triangulo isosceles con su base paralela al otro eje (*). Sea $Z$ la interseccion de las tangentes.

Por Apolonio (**) se cumple que,

$\frac{ZX^2}{ZY^2}=\frac{OA(OB)}{OC(OD)}$

en este caso particular donde $ZX=ZY$ nos queda

$1=\frac{OA(OB)}{OC(OD)}$, es decir $OA(OB) = OC(OD)$

que es la potencia de un punto, asi que A, B, C y D son conciclicos.
elipse.gif
(*) La tg es la bisectriz del angulo q forman los radios vectores. Se podria argumentar esta propiedad para evitar "es facil ver".
(**) http://apolonio.es/guirnalda/apolonio-i ... et-carnot/
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
BrunZo

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Re: Intersecciones de un circulo y una elipse

Mensaje sin leer por BrunZo »

Mi solución original es bastante similar a la de arriba, nada más que usa otra configuración para la aplicación de Apolonio, a saber
Spoiler: mostrar
Sean $A_1B_1$, $C_1D_1$ los diámetros paralelos a $AB$, $CD$ (por diámetro se entiende una cuerda que pase por el centro, la intersección de los ejes.) Entonces, siendo $O$ el centro de $\Gamma$ (también, la intersección de $A_1B_1$ y $C_1D_1$), por Apolonio tenemos
$$\frac{AP\cdot PB}{CP\cdot PD}=\frac{A_1O\cdot OB_1}{C_1O\cdot OD_1}=\frac{A_1O^2}{C_1O^2}=\frac{A_1B_1^2}{C_1D_1^2}$$
(*) Además, la condición de enunciado implica que $A_1B_1$, $C_1D_1$ son conjugados, o sea, $A_1B_1=C_1D_1$, y por potencia de un punto estamos. :D
Más aún, agrego una demostración (un poco rebuscada) de (*), que fue la que hallé:
Spoiler: mostrar
Sean $A_1B_1$, $C_1D_1$ los diámetros (repito: cuerdas que pasan por el centro) paralelos a $AB$, $CD$ que se intersecan en $O$, el centro. Aplicamos una transformación afín $\phi$ (básicamente, achatamos o estiramos con respecto a un eje) que transforme a la elipse en un círculo. Sabemos que las paralelas permanecen paralelas y las razones estre paralelas permanecen iguales. Luego,
$$\frac{\phi(AP)}{\phi(A_1B_1)}=\frac{AP}{A_1B_1},\quad \frac{\phi(BP)}{\phi(A_1B_1)}=\frac{BP}{A_1B_1}$$
cuyo producto es
$$\frac{\phi(AP)\cdot\phi(BP)}{\phi(A_1B_1)^2}=\frac{AP\cdot BP}{A_1B_1^2}$$
Similarmente,
$$\frac{\phi(CP)\cdot\phi(DP)}{\phi(C_1D_1)^2}=\frac{CP\cdot DP}{C_1D_1^2}$$
Usando potencia de un punto en el círculo $\phi(\Gamma)$ e igualdad de diámetros, tenemos que los lados izquierdos de los dos productos son iguales, entonces,
$$\frac{AP\cdot BP}{A_1B_1^2}=\frac{CP\cdot DP}{C_1D_1^2}$$
como queríamos.
(Me hago un poco de lío con las ratios, pero básicamente el argumento se basa en extender potencia de un punto de $\phi(\Gamma)$ a $\Gamma$.)
De todos modos, creo que hay soluciones algo más elementales que funcionan bien. :roll:
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Juaco

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Re: Intersecciones de un circulo y una elipse

Mensaje sin leer por Juaco »

Un dato curioso sobre esto es que también funciona para las otras conicas, si en vez de ser una elipse fuera una hiperbola o una parábola también los puntos son conciclicos (en el caso de la parábola las bisectriz es serían una paralela al eje y la otra perpendicusar obviamente) pero se hace mas difícil demostrarlo ya que en estos casos la afinidad ayuda mucho y no existe afinidad para hiperbola ni parábola. Difícil si se intenta desde cero, si te ayudas de que para la elipse sí funciona, sale casi trivial.
$\text{“The further removed from usefulness or practical application, the more important."}$
Juaco

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Re: Intersecciones de un circulo y una elipse

Mensaje sin leer por Juaco »

Ahora viéndolo bien, esto no sale trivial con el concepto de rectas antiparalelas?

Ah no, eso es sólo cuando las cuerdas AB y CD no se cortan
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