Selectivo EGMO, Perú 2019. Problema 2

Nando

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Selectivo EGMO, Perú 2019. Problema 2

Mensaje sin leer por Nando » Mar 19 Feb, 2019 7:18 pm

Sea $\Gamma$ el circuncírculo de un triángulo acutángulo $ABC$ y sea $H$ su ortocentro. La circunferencia $\omega$ con diámetro $AH$ corta a $\Gamma$ en el punto $D$ ($D\neq A$). Sea $M$ el punto medio del menor arco $BC$ de $\Gamma$. Sea $N$ el punto medio del mayor arco $BC$ del circuncírculo del triángulo $BHC$. Pruebe que hay una circunferencia que pasa por los puntos $D$, $H$, $M$ y $N$.

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo EGMO, Perú 2019. Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 19 Feb, 2019 7:43 pm

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Sean $E$ y $F$ los pies de las alturas desde $B$ y $C$ respectivamente, $G$ el segundo punto de intersección de $DH$ y $\Gamma$, $I=HN\cap AB$, $O$ el circuncentro de $\triangle ABC$ y $\angle BAC=2\alpha$.
De $HE\perp AE$ y $HF\perp AF$ se sigue que $\angle EHF=180°-2\alpha$, es decir $\angle FHI=90°-\alpha$, luego $\angle FIH=\alpha =\angle FAM$, por lo que $HN\parallel AM$. Por otro lado, $M$ y $N$ están ambos sobre la mediatriz de $BC$, de donde $MN\perp BC\perp AH\Rightarrow MN\parallel AH$, entonces $AMNH$ es un paralelogramo y $\angle MNH=\angle MAH$. (*)
Ahora, como $\angle ADG=\angle ADH=90°$ por estar en la circunferencia de diámetro $AH$, tenemos que $AG$ es diámetro de $\Gamma$, como $O$ y $H$ son conjugados isogonales se sigue $\angle MDH=\angle MDG=\angle MAG=\angle MAO=\angle MAH$. (**)
De (*) y (**) se sigue $\angle MNH=\angle MDH$, por lo que $DHMN$ es cíclico.
[math]

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