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AugustTierra escribió: ↑Jue 13 Sep, 2018 6:22 pm A mi me dio 75° 75° y 30°

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lo primero que hice fue hacer fue sacar los ángulos de OAB y OBA, que como son 1/4 de un cuadrado, sus ángulos eran 45° y 45° cada uno. Luego hice que el triangulo rectángulo KOM(m=punto medio de AO), sea un triangulo isósceles en KOA, con AK=OK. Después de esto, sabiendo que KO es el radio, AK=AO=OK, es decir es un triangulo equilátero, por lo cual KOB=90-AOK = 30°, y con esto ya podemos sacar el ángulo KLB que es igual a 180-(180-45-30). Después de hacer todo esto, haciendo KAO.2= 120, es decir que el lado AK forma parte de un hexágono regular, y como AK=KB:2 (no me acuerdo como lo saque), podemos decir que KB forma parte de un polígono regular de 12 lados, es decir que el ángulo KBA=(150(amplitud de un ángulo de un polígono regular de 12 lados)-90(por el ángulo del cuadrado)):2= 30°, y entonces con esto lo único que falta es el ángulo AKB=180-30-75=75°

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a mi me dio igual solo que en vez de usar lo de los hexagonos y dodecagonos , use angulo central y arco capaz

Joacoini escribió: ↑Jue 13 Sep, 2018 5:18 pm Sean $A$ y $B$ puntos en una circunferencia de centro $O$ tales que $A\widehat OB=90°$. La perpendicular a $AO$ trazada por su punto medio corta al arco menor $AB$ en $K$, y los segmentos $AB$ y $KO$ se cortan en $L$. Calcular la medida de los ángulos del triángulo $BKL$.

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Yo lo que hice fue sacar los ángulos del isósceles OAB (OA=OB porque son el radio de la circunferencia) y me dio que OAˆB=ABˆO=45º.
Luego, al punto medio de AO lo nombré M y al punto que corta a BA y KM lo nombré P .
Como AO y KO son el radio de la circunferencia entonces son iguales y OM es la mitad de KO entonces el triangulo MKO es mitad de equilátero, por lo tanto MKˆO=30º y AOˆK=60º. Entonces KOˆB mide 30º porque BOˆA=90º.
y como KOB es isósceles (porque BO y KO son el radio) entonces OKˆB=KBˆO=75º.
como tenemos que OBˆK=75º y OBˆA=45º entonces KBˆL=30º y por lo tanto KLˆB=75º

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Notar que los segmentos $\overline{AO}, \overline{OB}, \overline{OK}$ son todos congruentes pues son radios de la misma circunferencia; entonces el triángulo $\overset{\bigtriangleup}{AOK}$ es equilátero, entonces tiene sus ángulos congruentes a 60° y por tanto $\hat{KOB}=90°-60°=30°$; el triángulo rectángulo $\overset{\bigtriangleup}{AOB}$ es isósceles por lo tanto $\hat{BAO}=\hat{ABO}=45°$; y el triángulo $\overset{\bigtriangleup}{KOB}$ es isósceles, pues tiene dos lados congruentes, entonces a lados congruentes se oponen ángulos congruentes y $\hat{BKO}=\hat{KBO}=\frac{180°-30°}{2}=75°$, entonces el $\hat{KBL}=75°-45°=30°$. Finalmente, el ángulo $\hat{BLK}=180°-75°-30°=75°$, así que nuestra respuesta es que los ángulos del $\overset{\bigtriangleup}{BKL}$ miden $30°, 75°, 75°$

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Notemos que el ángulo $A\widehat{O}K = 2 A\widehat{B}K$, pues $A\widehat{O}K$ es el ángulo central correspondiente a $A\widehat{B}K$.

Sabemos que $KO = OA$, pues ambos son radios de la circunferencia.

Teniendo esto en cuenta, lo que podemos hacer ahora es trazar el segmento $KA$ y ver lo siguiente:
$KO = AK$, pues ambos equidistan del punto $K$. Sabemos esto debido a que por dato del problema, $K$ es el punto de intersección de la recta perpendicular a $AO$ trazada por su punto medio.

Debido a lo anterior dicho, nos queda que $KO = AK = OA$ $\to$ $A\stackrel{\triangle}{K}O$ es equilátero.

Por lo tanto, $A\widehat{O}K = 60$ $\to$ $A\widehat{B}K = 30$

Para sacar los demás ángulos, podemos ver los del triángulo $O\stackrel{\triangle}{B}K$:

$O\widehat{B}A = 45$ $\to$ $A\stackrel{\triangle}{O}B$ es isósceles debido a que tiene un vértice en el centro de la circunferencia y sus otros 2 en la circunferencia, $A\widehat{O}B = 90$ por dato del problema
$K\widehat{B}O = O\widehat{B}A + K\widehat{B}A = 45 + 30 = 75$
$B\widehat{O}K = 90 - A\widehat{O}K = 90 - 60 = 30$

$K\widehat{B}O + B\widehat{O}K + B\widehat{K}O = 180$
$75 + 30 + B\widehat{K}O = 180$
$B\widehat{K}O = 180 - 30 - 75 = 75$

Finalmente, solo nos queda calcular el ángulo $B\widehat{L}K$:
$B\widehat{L}K = 180 - $B\widehat{K}O - $K\widehat{B}O = 180 - 75 - 30 = 75$

Entonces, los ángulos del triángulo $B\stackrel{\triangle}{K}L$ son:
$B\widehat{K}L = B\widehat{K}O = 75$
$B\widehat{L}K = 75$
$K\widehat{B}L = 30$

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