Entrenamiento Cono 2018 P36

[Joacoini]

Dado un triángulo acutángulo $ABC$ construimos triángulos $ABD$ y $ACE$ exteriores tales que $A\widehat{D}B=A\widehat{E}C=90°$ y $B\widehat{A}D=C\widehat{A}E$. Sean $A_1\in BC$, $B_1\in AC$, $C_1\in AB$ los pies de las alturas del triángulo $ABC$, y sean $K$ y $L$ los puntos medios de $BC_1$ y $CB_1$ respectivamente. Demostar que los circuncentros de los triangulos $AKL$, $A_1B_1C_1$ y $DEA_1$ son colineales.

[Gianni De Rico]

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Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $CA$ respectivamente. Por Thales $ML\parallel BB_1\perp AL$ y $MK\parallel CC_1\perp AK$, como además $AA_1\perp MA_1$ entonces $A$, $A_1$, $K$, $L$, $M$ están en la circunferencia de diámetro $AM$. Es decir, $M$ está sobre el circuncírculo de $AKL$ y el circuncentro de $AKL$ está sobre la mediatriz de $A_1M$.

Por la circunferencia de los nueve puntos, $M$ está sobre el circuncírculo de $A_1B_1C_1$ y el circuncentro de $A_1B_1C_1$ está sobre la mediatriz de $A_1M$.

Ahora, tenemos $B\widehat DA=90°=B\widehat {A_1}A$ de donde $AA_1BD$ es cíclico y $A\widehat {A_1}D=A\widehat BD$. Análogamente, $A\widehat {A_1}E=A\widehat CE$. Pero por los ángulos que nos da el enunciado tenemos que $\triangle ABD\simeq \triangle ACE$, entonces $A\widehat BD=A\widehat CE$ y $D\widehat {A_1}E=A\widehat {A_1}D+A\widehat {A_1}E=A\widehat BD+A\widehat CE=2A\widehat CE$. (*)
Como $N$ es punto medio de $AC$ entonces por base media $MN=\frac{1}{2}AB$, luego $\frac{AD}{MN}=2\frac{AD}{AB}$. Por la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo, $NE=\frac{1}{2}AC$, luego, $\frac{AE}{NE}=2\frac{AE}{AC}$. Pero por la semejanza entre $ABD$ y $ACE$ tenemos $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$, de donde $\frac{AD}{MN}=\frac{AE}{NE}$. Además, $M\widehat NC=B\widehat AC$ por ángulos entre paralelas, y $C\widehat NE=2N\widehat AE=D\widehat AB+E\widehat AC$ por ser $C\widehat NE$ el central correspondiente de $C\widehat AE$. Luego, $M\widehat NE=M\widehat NC+C\widehat NE=B\widehat AC+D\widehat AB+E\widehat AC=D\widehat AE$. Entonces $\triangle ADE$ y $\triangle NME$ son rotohomotéticos de centro $E$, por lo tanto $\triangle AEN$ y $\triangle DEM$ son rotohomotéticos de centro $E$, en particular $D\widehat ME=A\widehat NE=2A\widehat CE$ (**) por ser $A\widehat NE$ el central correspondiente de $A\widehat CE$.
De (*) y (**) tenemos $D\widehat {A_1}E=D\widehat ME\Rightarrow DEMA_1$ es cíclico y $M$ está sobre el circuncírculo de $DEA_1$. Entonces el circuncentro de $DEA_1$ está sobre la mediatriz de $A_1M$.

Por lo tanto los circuncentros de los triángulos $AKL$, $A_1B_1C_1$ y $DEA_1$ están alineados sobre la mediatriz de $A_1M$.