Tangentes y concurrencia

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Gianni De Rico

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Tangentes y concurrencia

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 13 Ago, 2018 3:45 pm

Se marcan los puntos $A$, $B$, $C$, $D$ en una circunferencia $\Gamma$ de forma que el cuadrilátero $ABCD$ sea convexo. Las tangentes a $\Gamma$ por $D$ y $A$ se cortan en $E$, las tangentes a $\Gamma$ por $A$ y $B$ se cortan en $F$, las tangentes a $\Gamma$ por $B$ y $C$ se cortan en $G$ y las tangentes a $\Gamma$ por $C$ y $D$ se cortan en $H$.
Demostrar que las rectas $AC$, $BD$, $EG$ y $FH$ son concurrentes.
[math]

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Violeta

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Re: Tangentes y concurrencia

Mensaje sin leer por Violeta » Jue 16 Ago, 2018 7:08 am

Si alguien quiere hacer las cuentas (porque yo definitivamente no tengo ganas de hacerlas ahora):
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Ponemos $a,b,c,d$ como los puntos $A,B,C,D$ sobre el círculo unitario de los números complejos.
Entonces, la intersección de $AC$ y $BC$ es $\frac{a+c-b-d}{ac-bd}$. Basta probar que eso, $\frac{2ab}{a+b}$ y $\frac{2cd}{c+d}$ son colineales. Que no se ve difícil, pero no tengo ganas de hacer las cuentas, como ya dije :D
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Gianni De Rico

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Re: Tangentes y concurrencia

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 16 Ago, 2018 9:06 am

Una pista
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Sale aplicando dos veces un teorema que es (creo yo) medianamente conocido.
1  
[math]

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Violeta

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Re: Tangentes y concurrencia

Mensaje sin leer por Violeta » Vie 17 Ago, 2018 5:42 pm

Gianni De Rico escribió:
Jue 16 Ago, 2018 9:06 am
Una pista
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Sale aplicando dos veces un teorema que es (creo yo) medianamente conocido.
Spoiler: mostrar
Aplicamos el teorema de Pascal a los cuadrilateros ciclicos $AACBBD$ y $CCADDB$ y tenemos que $F$ es colineal con $AC \cap BD$ y $AD \cap BC$, que a su vez son colineales con $H$. Entonces, $F, H, AC \cap BD$ son colineales. Semejantemente, $E,G, AC \cap BD$ son colineales y acabamos.
1  
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Gianni De Rico

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Re: Tangentes y concurrencia

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 17 Ago, 2018 8:28 pm

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Yo lo había pensado usando Brianchon en $EAFGCH$ y $FBGHDE$, pero en escencia es lo mismo.
1  
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ricarlos
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Re: Tangentes y concurrencia

Mensaje sin leer por ricarlos » Mar 28 Ago, 2018 8:44 pm

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Tambien
FD, AH, EG,
FC, BH, EG,
GA, EB, FH,
GD, EC, FH son concurrentes.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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Gianni De Rico

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Re: Tangentes y concurrencia

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 28 Ago, 2018 10:21 pm

ricarlos escribió:
Mar 28 Ago, 2018 8:44 pm
Spoiler: mostrar
Tambien
FD, AH, EG,
FC, BH, EG,
GA, EB, FH,
GD, EC, FH son concurrentes.
Spoiler: mostrar
Aplicando el Teorema de Brianchon en
$FAEDHG$
$FEHCGB$
$GBFAEH$
$GFEDHC$
respectivamente, se obtienen las concurrencias pedidas.
[math]

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