Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P3

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Violeta

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Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P3

Mensaje sin leer por Violeta » Dom 12 Ago, 2018 2:20 pm

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y sea $P$ un punto tal que $AP$ es paralela a $BC$ y $BP<CP$. $X$ y $Y$ son tales que $B$ está sobre el segmento $PX$, $C$ está sobre el segmento $PY$ y $\angle PXM = \angle PYM$.

Probar que $APXY$ es cíclico.
Última edición por Violeta el Lun 13 Ago, 2018 7:56 am, editado 2 veces en total.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

jujumas

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P3

Mensaje sin leer por jujumas » Dom 12 Ago, 2018 4:46 pm

Un festival de teoremas oscuros.

Solución:
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Supongamos que $XM$ corta a $PY$ en $F$, y que $YM$ corta a $PX$ en $E$. Claramente, $EFYX$ es cíclico. Sea $\omega$ la circunscrita de $EFYX$. Sea $O$ el centro de $\omega$. Sean $S$ y $T$ los puntos en donde $BC$ cortar a $\omega$. Sea $Q$ el punto donde $EF$ corta a $XY$.

Figura de análisis:
PuertoRicoP3.png
Notemos que por el recíproco del Teorema de la Mariposa, $M$ es punto medio de $ST$. Luego, $OM$ y $ST$ son perpendiculares. Ahora, por el Teorema de Brokard $PQ$ es la polar de $M$ con respecto a $\omega$. Luego, $OM$ y $PQ$ son perpendiculares, por lo que $PQ \parallel BC$ y $P$, $A$, $Q$ son colineales.

Además, como $AB=AC$, $AM$ y $BC$ son perpendiculares y $A$ pertenece a $MO$. Luego, $A$ es el punto de Miquel del cuadrilátero cíclico $EFYX$, por lo que el circuncírculo de $PXY$ pasa por $A$.
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Violeta

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P3

Mensaje sin leer por Violeta » Lun 13 Ago, 2018 8:22 am

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Vamos con tramposética. Asumamos que $APXY$ es cíclico y probaremos la condición opuesta.

Sea $X'$ la intersección de $MX$ y $PY$. Definamos $Y'$ análogamentem queremos ver que $XY'X'Y$ es cíclico y acabamos.

Veamos que $XY, X'Y', AP$ concurren.

En efecto, si projectamos $(B,C;M,P_\infty)$ por $P$ hacia $XY$, queda, pues en el triángulo $PXY$, $PM, XM, YM$ son medianas concurrentes y $(X,Y; PM \cap XY, PA \cap XY)$ es armónico.

Ahora, si proyectamos $(B, C; M, P_\infty)$ por $P$ hacia $XX'$, queda que $AM$ es la bisectriz de $\angle XAX'$. Análogamente, $AM$ es bisectriz de $\angle YAY'$.
Entonces, $\angle X'PY' = \angle XPY = \angle XAY = \angle XAM + \angle MAY = \angle X'AM + \angle MAY' = \angle X'AY'$ y $APY'X'$ es cíclico. Pero como $AM, XY, X'Y'$ concurren, sigue que $XY'X'Y$ es cíclico y acabamos.
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 13 Ago, 2018 8:28 am

Violeta escribió:
Lun 13 Ago, 2018 8:22 am
tramposética
¿En Puerto Rico también se dice así? ¿O lo aprendiste acá en el foro?
[math]

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 13 Ago, 2018 8:47 am

Violeta escribió:
Lun 13 Ago, 2018 8:22 am
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en el triángulo $PXY$, $PM, XM, YM$ son medianas concurrentes
Spoiler: mostrar
Estás seguro de que esto es cierto? Porque a mi con GeoGebra no me queda (los puntos medios caen muy cerca, pero no son los mismos). De todas formas, no veo cómo lo usás, ya que $\{B,C;M,P_{\infty}\}$ es armónico (porque $M$ es punto medio de $BC$) y no necesitás otra justificación para decir que $\{X,Y; PM \cap XY, PA \cap XY\}$ es armónico.
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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P3

Mensaje sin leer por Violeta » Lun 13 Ago, 2018 10:09 am

Gianni De Rico escribió:
Lun 13 Ago, 2018 8:28 am
Violeta escribió:
Lun 13 Ago, 2018 8:22 am
tramposética
¿En Puerto Rico también se dice así? ¿O lo aprendiste acá en el foro?
No, acá le decimos puntos fantasmas, del inglés "phantom points". Puse "tramposética" porque sue más familiar acá en los foros :P
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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2018 P3

Mensaje sin leer por Violeta » Lun 13 Ago, 2018 10:11 am

Gianni De Rico escribió:
Lun 13 Ago, 2018 8:47 am
Violeta escribió:
Lun 13 Ago, 2018 8:22 am
Spoiler: mostrar
en el triángulo $PXY$, $PM, XM, YM$ son medianas concurrentes
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Estás seguro de que esto es cierto? Porque a mi con GeoGebra no me queda (los puntos medios caen muy cerca, pero no son los mismos). De todas formas, no veo cómo lo usás, ya que $\{B,C;M,P_{\infty}\}$ es armónico (porque $M$ es punto medio de $BC$) y no necesitás otra justificación para decir que $\{X,Y; PM \cap XY, PA \cap XY\}$ es armónico.
Mala mía, quise decir cevianas. Lo de las cevianas concurrentes era para probar
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$X', Y', AP \cap XY$ colineales y no para probar $(X,Y; PM \cap XY, PA \cap XY) = 1$.
Pues la justificación completa:
Spoiler: mostrar
Sea $M' = PM \cap XY$ y $Q = PA \cap XY$.
Por armónicos, $\frac{XM'}{YM'} = \frac{XQ}{YQ}$.
Pero entonces $\frac{PX'}{X'Y} \cdot \frac{YM'}{M'X} \cdot \frac{XY'}{Y'P} = 1 = \frac{PX'}{X'Y} \cdot \frac{YQ}{QX} \cdot \frac{XY'}{Y'P}$. La primera igualdad es por Ceva y la segunda implica $X',Y',Q$ colineales, por Menelao.
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