Sea $ABC$ un triángulo no degenerado e $I$ el punto de intersección de sus bisectrices. $D$ es el punto medio del segmento $CI$. Si se sabe que $\frac{AD}{DB}=\frac{BC}{CA}$, demostrar que $AC=BC$.
Lema: El circulo de la circunferencia de Apolonio que contiene a los puntos $P$ tales que $\frac{AP}{BP}=r$, $r\neq 1$ y el círculo de la que contiene a los puntos $P$ tales que $\frac{AP}{BP}=\frac{1}{r}$ no tienen puntos en común.
Demostración: Los dos círculos son simétricos respecto a la mediatriz de $AB$ por lo que si comparten algún punto es porque las circunferencias se cortan en la mediatriz. Sea $X$ el punto de corte como $X$ está en la mediatriz $\frac{AX}{BX}=1$ pero como está en la circunferencia de Apolonio $\frac{AX}{BX}=r$ Contradicción
Volviendo al problema $E=CI\bigcap AB$ por el teorema de la bisectriz $\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BE}$ y por el enunciado $\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{r}$.
Si $r\neq 1$ tenemos que el círculo de la circunferencia de Apolonio que contiene a $C$ y $E$ y el círculo de la circunferencia de Apolonio que contiene a $D$ no comparten puntos pero $D$ está en la cuerda $CE$ contradicción.
Si $r=1$ los puntos $C$, $D$ y $E$ están sobre la mediatriz de $AB$ por lo tanto $AC=BC$
Sea $E$ el punto de intersección entre la recta $CI$ y el lado $AB$.
Además, se tiene que: $\frac{AD}{BD}=\frac{BC}{AC}$:
*Si $AC>BC\Rightarrow BD>AD$. Por teorema de la bisectriz: $\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BE}\Rightarrow AE>BE$
Aplicando teorema de Stewart en $\bigtriangleup ACE$ y $\bigtriangleup BCE$, se obtiene, respectivamente: $AD^2\cdot CE=AC^2\cdot ED+AE^2\cdot CD-AD\cdot DC\cdot CE$
$BD^2\cdot CE=BC^2\cdot ED+BE^2\cdot CD-AD\cdot DC\cdot CE$
Igualando ambas expresiones, nos queda: $AC^2\cdot ED+AE^2\cdot CD-AD^2\cdot CE=BC^2\cdot ED+BE^2\cdot CD-BD^2\cdot CE$
Agrupando convenientemente: $ED\cdot \left (AC^2-BC^2\right )+CD\cdot \left (AE^2-BE^2\right )+CE\cdot \left (BD^2-AD^2\right )=0$ (Absurdo), pues $AC>BC$, $AE>BE$ y $BD>AD$.
Absurdo al que también se arribará en caso de ser $AC<BC$.
$\therefore AC=BC$ (Q.E.D.)