Entrenamiento Cono 2018 P18

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Matías

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2016 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2017 FOFO Pascua 2017 - Medalla-FOFO Pascua 2017 OFO - Medalla de Plata-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019
Mensajes: 201
Registrado: Mar 06 Oct, 2015 7:59 pm
Medallas: 7
Nivel: 3

Entrenamiento Cono 2018 P18

Mensaje sin leer por Matías » Sab 11 Ago, 2018 3:04 pm

Sea $ABC$ un triángulo no degenerado e $I$ el punto de intersección de sus bisectrices. $D$ es el punto medio del segmento $CI$. Si se sabe que $\frac{AD}{DB}=\frac{BC}{CA}$, demostrar que $AC=BC$.

Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020
Mensajes: 351
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 7
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Ciudad Gotica

Re: Entrenamiento Cono 2018 P18

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 11 Ago, 2018 5:24 pm

Spoiler: mostrar
Lema: El circulo de la circunferencia de Apolonio que contiene a los puntos $P$ tales que $\frac{AP}{BP}=r$, $r\neq 1$ y el círculo de la que contiene a los puntos $P$ tales que $\frac{AP}{BP}=\frac{1}{r}$ no tienen puntos en común.

Demostración: Los dos círculos son simétricos respecto a la mediatriz de $AB$ por lo que si comparten algún punto es porque las circunferencias se cortan en la mediatriz. Sea $X$ el punto de corte como $X$ está en la mediatriz $\frac{AX}{BX}=1$ pero como está en la circunferencia de Apolonio $\frac{AX}{BX}=r$ Contradicción

Volviendo al problema $E=CI\bigcap AB$ por el teorema de la bisectriz $\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BE}$ y por el enunciado $\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{r}$.

Si $r\neq 1$ tenemos que el círculo de la circunferencia de Apolonio que contiene a $C$ y $E$ y el círculo de la circunferencia de Apolonio que contiene a $D$ no comparten puntos pero $D$ está en la cuerda $CE$ contradicción.

Si $r=1$ los puntos $C$, $D$ y $E$ están sobre la mediatriz de $AB$ por lo tanto $AC=BC$
2  
NO HAY ANÁLISIS.

Avatar de Usuario
DiegoLedesma
Mensajes: 56
Registrado: Vie 28 Jul, 2017 9:21 pm
Nivel: Otro

Re: Entrenamiento Cono 2018 P18

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Mié 22 Ago, 2018 9:49 pm

Spoiler: mostrar
Sea $E$ el punto de intersección entre la recta $CI$ y el lado $AB$.
Además, se tiene que: $\frac{AD}{BD}=\frac{BC}{AC}$:
*Si $AC>BC\Rightarrow BD>AD$. Por teorema de la bisectriz: $\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BE}\Rightarrow AE>BE$
Aplicando teorema de Stewart en $\bigtriangleup ACE$ y $\bigtriangleup BCE$, se obtiene, respectivamente: $AD^2\cdot CE=AC^2\cdot ED+AE^2\cdot CD-AD\cdot DC\cdot CE$
$BD^2\cdot CE=BC^2\cdot ED+BE^2\cdot CD-AD\cdot DC\cdot CE$
Igualando ambas expresiones, nos queda: $AC^2\cdot ED+AE^2\cdot CD-AD^2\cdot CE=BC^2\cdot ED+BE^2\cdot CD-BD^2\cdot CE$
Agrupando convenientemente: $ED\cdot \left (AC^2-BC^2\right )+CD\cdot \left (AE^2-BE^2\right )+CE\cdot \left (BD^2-AD^2\right )=0$ (Absurdo), pues $AC>BC$, $AE>BE$ y $BD>AD$.
Absurdo al que también se arribará en caso de ser $AC<BC$.
$\therefore AC=BC$ (Q.E.D.)

Responder