Entrenamiento Cono 2018 P18

Matías

OFO - Medalla de Bronce FOFO Pascua 2017 - Medalla OFO - Medalla de Plata
Mensajes: 140
Registrado: Mar 06 Oct, 2015 7:59 pm
Medallas: 4
Nivel: 2

Entrenamiento Cono 2018 P18

Mensaje sin leer por Matías » Sab 11 Ago, 2018 3:04 pm

Sea $ABC$ un triángulo no degenerado e $I$ el punto de intersección de sus bisectrices. $D$ es el punto medio del segmento $CI$. Si se sabe que $\frac{AD}{DB}=\frac{BC}{CA}$, demostrar que $AC=BC$.

Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata
Mensajes: 63
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 1
Nivel: 2

Re: Entrenamiento Cono 2018 P18

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 11 Ago, 2018 5:24 pm

Spoiler: mostrar
Lema: El circulo de la circunferencia de Apolonio que contiene a los puntos $P$ tales que $\frac{AP}{BP}=r$, $r\neq 1$ y el círculo de la que contiene a los puntos $P$ tales que $\frac{AP}{BP}=\frac{1}{r}$ no tienen puntos en común.

Demostración: Los dos círculos son simétricos respecto a la mediatriz de $AB$ por lo que si comparten algún punto es porque las circunferencias se cortan en la mediatriz. Sea $X$ el punto de corte como $X$ está en la mediatriz $\frac{AX}{BX}=1$ pero como está en la circunferencia de Apolonio $\frac{AX}{BX}=r$ Contradicción

Volviendo al problema $E=CI\bigcap AB$ por el teorema de la bisectriz $\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BE}$ y por el enunciado $\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{r}$.

Si $r\neq 1$ tenemos que el círculo de la circunferencia de Apolonio que contiene a $C$ y $E$ y el círculo de la circunferencia de Apolonio que contiene a $D$ no comparten puntos pero $D$ está en la cuerda $CE$ contradicción.

Si $r=1$ los puntos $C$, $D$ y $E$ están sobre la mediatriz de $AB$ por lo tanto $AC=BC$
2  
Tetraedro inscripto en un paralelepípedo contiene un tercio del volumen de este.

Responder