Página 1 de 1

Entrenamiento Cono 2018 P14

Publicado: Sab 11 Ago, 2018 2:31 pm
por Matías
Sea $P$ un punto interior del triángulo acutángulo $ABC$. Demostrar que si los simétricos de $P$ respecto a los lados del triángulo pertenecen a la circunferencia circunsctipta del triángulo, entonces $P$ es el ortocentro de $ABC$.

Re: Entrenamiento Cono 2018 P14

Publicado: Sab 11 Ago, 2018 5:07 pm
por Gianni De Rico
Spoiler: mostrar
Entrenamiento Cono 2018 P14.png
Primero que nada, sabemos que se cumple para el ortocentro. Ahora veamos que si un punto cumple, entonces es el ortocentro. En efecto, sean $H$ y $O$ el ortocentro y circuncentro de $ABC$, y sean $X_A$, $X_B$, $X_C$ las reflexiones del punto $X$ sobre los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente, por último, sea $\Gamma$ el circuncírculo de $ABC$ y sean $\Gamma _A$, $\Gamma _B$, $\Gamma _C$ los circuncírculos de $BH_AC$, $CH_BA$, $AH_CB$ respectivamente. Como $P_A$ y $H_A$ están sobre el arco $BC$ que no contiene a $A$, entonces $\angle BPC=\angle BP_AC=BH_AC=\angle BHC$, de donde $P\in \Gamma _A$. Análogamente, $P\in \Gamma _B$ y $P\in \Gamma _C$. Entonces la única forma de que $P\not \equiv H$ es que $\Gamma _A$, $\Gamma _B$ y $\Gamma _C$ vuelvan a pasar todas por un único punto, es decir, que sus centros estén alineados (ya que todos estarían sobre la mediatriz de $HP$). Pero estas circunferencias son las reflexiones de $\Gamma$ por $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente, de donde sus centros son $O_A$, $O_B$, $O_C$ respectivamente. Notemos ahora que poniendo $\angle CAB=\alpha$, $\angle ABC=\beta$ y $\angle BCA=\gamma$ tenemos\begin{align*}\angle O_BCB+\angle CBO_C & =\angle O_BCA+\angle ACO+\angle OCB+\angle CBO+\angle OBA+\angle ABO_C \\
& =2\angle ACO+2\angle OCB+2\angle OBA \\
& =2(90^\circ -\beta +90^\circ -\alpha +90^\circ -\gamma ) \\
& =2(270^\circ -\alpha -\beta -\gamma) \\
& =2(270^\circ -180^\circ ) \\
& =2\cdot 90^\circ \\
& =180^\circ
\end{align*}así que $CO_B\parallel BO_C$ y además $CO_B=CO=BO=BO_C$ de donde $BCO_BO_C$ es un paralelogramo y $O_BO_C=BC$. Análogamente, $O_CO_A=CA$ y $O_AO_B=AB$. De donde los triángulos $O_AO_BO_C$ y $ABC$ son congruentes, en particular $O_AO_BO_C$ es acutángulo y no es posible que $O_A$, $O_B$, $O_C$ sean colineales. Por lo tanto $\Gamma _A$, $\Gamma _B$ y $\Gamma _C$ concurren únicamente en $H$. Queda demostrado que $P\equiv H$.