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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 04 Ago, 2018 5:38 pm

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo de circuncentro $O$ y sea $A_1$ un punto en el arco $BC$ del circuncírculo de $ABC$ que no contiene a $A$. Sean $A_2$ y $A_3$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $B\widehat {A_1}A_2=O\widehat AC$ y $C\widehat {A_1}A_3=O\widehat AB$.
Demostrar que la recta $A_2A_3$ pasa por el ortocentro de $ABC$.
[math]

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Re: Ibero 2005 - P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 04 Ago, 2018 6:13 pm

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Sea $H$ el ortocentro de $ABC$ y sean $G$ y $V$ las segundas intersecciones de $BH$ y $CH$ con el circuncírculo de $ABC$. Como el circuncentro y el ortocentro son conjugados isogonales tenemos $B\widehat {A_1}V=B\widehat CV=B\widehat AH=O\widehat AC=B\widehat {A_1}A_2$ de donde $A_1,A_2,V$ son colineales. Análogamente $A_1,A_3,G$ son colineales. Por Pascal en $ABGA_1VC$ tenemos que $A_2=AB\cap A_1V$, $H=BG\cap VC$ y $A_3=GA_1\cap CA$ son colineales.
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[math]

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