Selectivo de Ibero 2018 - Problema 4

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Luli97

OFO - Mención OFO - Medalla de Bronce OFO - Jurado FOFO Pascua 2019 - Jurado FOFO 7 años - Jurado
FOFO 8 años - Jurado
Mensajes: 77
Registrado: Mar 16 Abr, 2013 8:23 pm
Medallas: 9
Nivel: Exolímpico

Selectivo de Ibero 2018 - Problema 4

Mensaje sin leer por Luli97 » Vie 03 Ago, 2018 4:50 pm

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. En el arco $BC$ de la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$ y no contiene al punto $A$ se eligen los puntos $X$, $Y$ tales que $BX=CY$. Sea $M$ el punto medio del segmento $AX$. Demostrar que $BM+CM \geq AY$.

Avatar de Usuario
BrunoDS

OFO - Medalla de Plata OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 98
Registrado: Dom 16 Nov, 2014 7:09 pm
Medallas: 2
Nivel: 3
Ubicación: Martínez

Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 4

Mensaje sin leer por BrunoDS » Sab 04 Ago, 2018 9:17 pm

Spoiler: mostrar
Sea $D$ un punto sobre el arco $AC$ que contiene a $B$ tal que $AD=BX=CY$.

Notemos que $ADBX$ es un trapecio isósceles, por lo que $\angle DAX=\angle BXA$. Además, como $AM=MX$, tenemos que los triángulos $DAM$ y $BXM$ son congruentes, de donde $BM=DM$.

Ahora, también notemos que $ADYC$ es un trapecio isósceles, de donde $AY=DC$.

Por desigualdad traingular en el triángulo $DMC$ (la igualdad vale si y sólo si estos tres puntos son colineales):

$DM+MC \geq DC$

Reemplazando:

$BM+CM \geq AY$.

Como queríamos demostrar.
2  
"No se olviden de entregar la prueba antes de irse..."

BrunZo

OFO - Medalla de Bronce FOFO 8 años - Mención Especial OFO - Medalla de Plata FOFO Pascua 2019 - Medalla FOFO 9 años - Medalla Especial
Mensajes: 208
Registrado: Mar 21 Nov, 2017 8:12 pm
Medallas: 5
Nivel: 1

Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 4

Mensaje sin leer por BrunZo » Mar 30 Jul, 2019 11:21 pm

Dato de color:
Spoiler: mostrar
Igualdad si y sólo si $ABCX$ es ármonico (i.e. $AB\cdot CD=BC\cdot DA$, o análogamente, $AX$ es simediana del $ABC$).

Responder