Selectivo de Ibero 2018 - Problema 3

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Matías V5

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Selectivo de Ibero 2018 - Problema 3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 02 Ago, 2018 9:19 pm

Dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$, de centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente, se cortan en los puntos $A$ y $B$. Una recta que pasa por $B$ corta nuevamente a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $C$ y $D$ respectivamente. Las rectas tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $C$ y $D$ respectivamente se cortan en $E$. Sea $F$ el segundo punto de intersección de la recta $AE$ con la circunferencia $\omega$ que pasa por $A$, $O_1$ y $O_2$. Demostrar que la longitud del segmento $EF$ es igual al diámetro de $\omega$.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 02 Ago, 2018 11:23 pm

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Sean $G$ la segunda intersección de $O_1B$ con $\omega _2$ y $H$ la segunda intersección de $O_2B$ con $\omega _1$.
Por arco capaz con la tangente tenemos $E\widehat CB=C\widehat AB$ y $E\widehat DB=D\widehat AB$, luego $C\widehat AD=C\widehat AB+D\widehat AB=E\widehat CB+E\widehat DB=180°-C\widehat ED$ y $ACED$ es cíclico y su circuncírculo es $\Gamma$.
Veamos que $G$ y $H$ están en $\omega$. Tenemos $O_1B=O_1H$ y $O_2B=O_2G$ por ser radios de $\omega _1$ y $\omega _2$, luego $O_2\widehat GO_1=O_2\widehat GB=O_2\widehat BG=O_1\widehat BH=B\widehat HO_1=O_2\widehat HO_1$ y $O_1O_2GH$ es cíclico, pero como $O_1A=O_1B$ y $O_2A=O_2B$ por ser radios de $\omega _1$ y $\omega _2$ entonces $AO_1BO_2$ es un romboide y $O_1\widehat AO_2=O_1\widehat BO_2=180°-O_2\widehat BG=180°-O_2\widehat GO_1$, por lo que $AO_1GO_2$ es cíclico, luego, $AO_1HGO_2$ es cíclico.
Sea $F'$ la segunda intersección de $\Gamma$ y $\omega$, luego $C\widehat {F'}A=180°-C\widehat EA=180°-C\widehat DA=180°-B\widehat DA=180°-B\widehat GA=180°-O_1\widehat GA=180°-O_1\widehat {F'}A$ por lo que $O_1,F',C$ son colineales. Análogamente, $O_2,F',D$ son colineales. Entonces $CE\perp O_1F'$, pero $A\widehat FO_1=A\widehat GO_1=A\widehat EC$, de donde $O_1F\parallel CE\perp O_1F'$, por lo tanto $FF'$ es diámetro de $\omega$.
Ahora sea $I$ la segunda intersección de $DF'$ con $\omega _2$, luego $A\widehat FF'=A\widehat {O_2}F'=A\widehat {O_2}I=2A\widehat DI=2A\widehat DF'=2A\widehat EF'=2F\widehat EF'$, pero $A\widehat FF'=F\widehat EF'+F\widehat {F'}E$ por suma de ángulos interiores de un triángulo, entonces $F\widehat EF'=F\widehat {F'}E\Rightarrow FE=FF'$. Como $FF'$ es diámetro de $\omega$, queda demostrado el problema.
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