Ibero 2006 - P1

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 02 Ago, 2018 2:43 pm

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con $\widehat A=90°$, la tangente por $A$ al circuncírculo de $AB$ corta a la recta $BC$ en $M$, sean $R$ y $S$ los puntos de tangencia de $AB$ y $AC$ con el incírculo de $ABC$. La recta $RS$ corta a la recta $BC$ en $N$ y a la recta $AM$ en $U$.
Demostrar que el triángulo $UMN$ es isósceles.
[math]

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Re: Ibero 2006 - P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 02 Ago, 2018 3:16 pm

El problema sigue valiendo sin importar el valor de $\widehat A$
Spoiler: mostrar
Sean $C\widehat AB=2\alpha$ y $B\widehat CA=\gamma$.
Por arco capaz con la tangente tenemos $U\widehat AB=\gamma \Rightarrow U\widehat AS=2\alpha +\gamma$, y por ser tangentes al incírculo desde $A$, entonces $AS=AR\Rightarrow A\widehat SR=90°-\alpha =A\widehat RS$, luego $A\widehat SU=90°-\alpha$
Ahora, $N\widehat BR=2\alpha +\gamma$ y $B\widehat RN=A\widehat RS=90°-\alpha$
Entonces por suma de ángulos interiores de un triángulo $M\widehat NU=B\widehat NR=A\widehat US=M\widehat UN$ por lo que $UMN$ es isósceles.
[math]

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