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Ibero 2007 - P2
Publicado: Mié 01 Ago, 2018 11:31 pm
por Gianni De Rico
Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$, y sea $\Gamma$ un círculo de centro $I$, radio mayor que el inradio de $ABC$ y que no pasa por ningún vértice de $ABC$. Sea $X_1$ el punto de intersección de $\Gamma$ y la recta $AB$ más cercano a $B$; $X_2,X_3$ los puntos de intersección de $\Gamma$ y la recta $BC$, con $X_2$ más cercano a $B$; y sea $X_4$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $AC$ más cercano a $C$. Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $X_1X_2$ y $X_3X_4$.
Demostrar que $AK$ pasa por el punto medio de $X_2X_3$.
Re: Ibero 2007 - P2
Publicado: Sab 21 Mar, 2020 2:28 am
por Joacoini
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Los triángulos $KX_2X_3$ y $KX_4X_1$ son semejantes ya que comparten $\widehat K$ y $\angle KX_1X_4=\angle X_2X_1X_4=180-\angle X_2X_3X_4=\angle KX_3X_2$ así que en vez de demostrar que $KA$ es mediana de $KX_3X_2$ podemos demostrar que $KA$ es simediana de $KX_1X_4$.
Sean $D, E$ y $F$ los puntos de contacto del incírculo con $BC, CA$ y $AB$ respectivamente.
Los triángulos $IEX_4$ y $IFX_1$ son rectángulos y tienen dos lados en común $IE=IF$ y $IX_4=IX_1$ tenemos que son congruentes por lo tanto $EX_4=FX_1$ y como $X_1$ y $X_4$ están en el mismo semiplano de la recta $EF$ y $AE=AF$ tenemos que $AX_1=AX_4$ y análogamente se demuestra que $BX_1=BX_2$ y $CX_3=CX_4$.
Por tres criterios LAL tenemos tres pares de semejanzas que nos dan que $X_1X_4//EF, X_4X_3//DE$ y $X_2X_1//FD$ así que los triángulos $DEF$ y $KX_4X_1$ son homoteticos y de centro $A$ pero como $DA$ es simediana de $DEF$ ya que $AE$ y $AF$ son tangentes al incirculo tenemos que $KA$ es simediana de $KX_4X_1$ y estamos.
Re: Ibero 2007 - P2
Publicado: Sab 10 Abr, 2021 8:00 pm
por Monazo
Un remate distinto
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Definimos a $x_5$ como la segunda intersección de la circunferencia con $AC$ y a $X_6$ como la segunda intersección con $AB$. Tenemos entonces que $X_1X_2X_3X_4X_5X_6$ es un hexágono cíclico. Definimos a $J$ como la intersección de $X_6X_3$ y $X_5X_2$. De esta manera, podemos aplicar el Teorema de Pascual en el hexágono $ X_{1}X_{6}X_{3}X_{4}X_{5}X_{2} $ para obtener que los puntos $A$, $J$ y $K$ son colineales.
Aprovechamos la demostración de Joaco para decir las siguientes afirmaciones:
$\bullet$ $BX_1 = BX_2 $
$\bullet$ $CX_3 = CX_4 $
$\bullet$ $BX_6 = BX_3 $
$\bullet$ $CX_2 = CX_5 $
Teniendo esto, se puede ver fácilmente que los cuadriláteros $X_1X_2X_3X_6$ y $X_3X_4X_5X_2$ son trapecios isósceles, por lo que se deduce que $X_1X_2 \parallel X_6X_3$ y $X_3X_4 \parallel X_5X_2$.
Con estas paralelas, podemos ver que el cuadrilátero $JX_2KX_3$ es de hecho un paralelogramo. Finalmente, tenemos que $JK$ pasa por el punto medio de $X_2X_3$ debido a que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Recordando que $A$, $J$ y $K$ eran colineales, tenemos finalmente que $AK$ corta a $X_2X_3$ en su punto medio.