Cono Sur 2006 P1

Matías

OFO - Medalla de Bronce FOFO Pascua 2017 - Medalla OFO - Medalla de Plata
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Cono Sur 2006 P1

Mensaje sin leer por Matías » Mié 25 Jul, 2018 6:19 pm

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, sean $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $AD$ y $BC$, respectivamente. Los segmentos $CE$ y $DF$ se cortan en $O$. Demostrar que si las rectas $AO$ y $BO$ dividen al lado $CD$ en tres partes iguales entonces $ABCD$ es un paralelogramo.

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DiegoLedesma
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Re: Cono Sur 2006 P1

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Mié 25 Jul, 2018 10:43 pm

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Por ser $E$ y $F$ puntos medios de $AD$ y $BC$ respectivamente, se tiene que $AE=ED$ y $BF=FC$. Y además, por consigna: $CG=GH=HD$
Sean $G$ y $H$ los puntos en que las rectas $AO$ y $BO$ respectivamente cortan al lado $CD$.
Aplicando Menelao en $\bigtriangleup$ $FCD$, se tiene que $\frac{BF}{BC}.\frac{CH}{HD}.\frac{DO}{OF}=1$ $\Rightarrow$ $\frac{BF}{2BF}.\frac{2HD}{HD}.\frac{DO}{OF}=1$ $\Rightarrow$ $DO=OF$
De igual manera, aplicando Menelao en $\bigtriangleup$ $EDC$, se tiene que $\frac{AE}{AD}.\frac{DG}{GC}.\frac{CO}{OE}=1$ $\Rightarrow \frac{AE}{2AE}.\frac{2GC}{GC}.\frac{CO}{OE}=1$ $\Rightarrow$ $CO=OE$
Luego, $EC$ y $FD$ se cortan en su punto medio; pero además por ser las diagonales del cuadrilátero $EFCD$, podemos afirmar que $EFCD$ es un paralelogramo $\Rightarrow$ $EF//CD$, $EF=CD$ y $ED//FC$, $ED=FC$. Por esto último (recordando que $BF=FC$), se tiene que $AE=BF=ED=FC$ $\Rightarrow$ $AD=BC$. Y por el recíproco de Thales, se llega a que $DC//EF//AB$.
$\therefore$ $ABCD$ es un paralelogramo (Q.E.D.)

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Gianni De Rico

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Re: Cono Sur 2006 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 26 Jul, 2018 7:51 pm

El famoso $2:2:1$, una forma un poco más directa para terminarlo es
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DiegoLedesma escribió:
Mié 25 Jul, 2018 10:43 pm
... $EFCD$ es un paralelogramo $\Rightarrow$ ... $ED//FC$, $ED=FC$ ...
Luego $AD=2ED=2FC=BC$ y $AD\parallel ED\parallel FC\parallel BC$
De estas dos cosas se sigue que $ABCD$ es un paralelogramo
[math]

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