IMO 2003 - P4

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 18 Jul, 2018 3:38 pm

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyos vértices están sobre una circunferencia. Sean $P$, $Q$ y $R$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $D$ a las rectas $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente. Demostrar que $PQ=QR$ si y sólo si las bisectrices de los ángulos $A\widehat BC$ y $A\widehat DC$ se cortan sobre la recta $AC$.
[math]

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Turko Arias

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Re: IMO 2003 - P4

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 20 Jul, 2018 4:45 am

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Consideramos el triángulo $ABC$, como $D$ está sobre su circunscripta, y $P$, $Q$ y $R$ son los pies de las perpendiculares por $D$ a sus lados entonces por Recta de Simson $P$, $Q$ y $R$ están alineados. Sea $X_1$ la intersección de la bisectriz de $\angle ADC$ con $AC$ y sea $X_2$ la intersección de la bisectriz de $\angle ABC$ con $AC$.Aplicamos Teorema de la bisectriz en $ABC$ y en $ACD$ y obtenemos las siguientes igualdades:
$\frac{CX_1}{AX_1}=\frac{CD}{AD}$ y $\frac{CX_2}{AX_2}=\frac{BC}{AB}$
Veamos el cuadrilatero $PCQD$, como es recto en $P$ y en $Q$ entonces es cíclico, tenemos entonces $\angle CDP= \angle CQP= \alpha$, pero por opuestos por el vértice $\angle AQR= \alpha$. Mirando el cuadrilatero $ARQD$ vemos que tiene $\angle ARD = \angle AQD=90º$, con lo que es cíclico, y por ende $\angle AQR= \angle ADR= \alpha$. Luego, los triángulos $CDP$ y $ADR$ tienen un ángulo recto y un ángulo que vale $\alpha$, por ende son semejantes.
Aplicamos ahora Menelao en el triángulo $BPR$ con la recta $AC$, tenemos $\frac{BC}{PC} \frac{PQ}{QR} \frac{AR}{AB}=1=\frac{BC}{AB} \frac{AR}{PC} \frac{PQ}{QR}$, pero por la semejanza de $CDP$ y $ADR$ tenemos que $\frac{AR}{PC}= \frac{AD}{CD}$, con lo que nos queda $\frac{BC}{AB} \frac{AD}{CD} \frac{PQ}{QR}=1$ $(*)$


Nos queda entonces:

$\bullet$ Si las bisectrices del enunciado se cortan sobre $AC$ entonces $X_1=X_2$, por lo que $\frac{CD}{AD}=\frac{CX_1}{AX_1}=\frac{CX_2}{AX_2}=\frac{BC}{AB}$, luego, $\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}$ que es equivalente a $\frac{BC}{AB}\frac{AD}{CD}=1$ y reemplazando en $(*)$ nos queda $\frac{PQ}{QR}=1$ con lo que $PQ=QR$.

$\bullet$ Si $PQ=QR$ tenemos que $\frac{PQ}{QR}=1$, reemplazando en $(*)$ nos queda $\frac{BC}{AB} \frac{AD}{CD}=1$, o lo que es lo mismo $\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}$, pero por el Teorema de la Bisectriz teníamos que $\frac{CX_1}{AX_1}=\frac{CD}{AD}$ y $\frac{CX_2}{AX_2}=\frac{BC}{AB}$, con lo que $\frac{CX_1}{AX_1}=\frac{CX_2}{AX_2}$ con lo que $X_1=X_2$ QED. $\blacksquare$
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