OMCC 2018 - P2

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 18 Jul, 2018 1:12 am

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\omega$ de centro $O$. Sean $T$ el punto diametralmente opuesto a $C$ y $T'$ la reflexión de $T$ con respecto a la recta $AB$. La recta $BT'$ interseca a $\omega$ en un segundo punto $R$. La recta perpendicular a $TC$ que pasa por $O$ interseca a la recta $AC$ en $L$. Sea $N$ el punto de intersección de las rectas $TR$ y $AC$. Pruebe que $CN=2AL$.
[math]

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Re: OMCC 2018 - P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 18 Jul, 2018 2:41 pm

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Como $CTBR$ es cíclico tenemos $R\widehat CT=180°-T\widehat BR=180°-T\widehat BT'=180°-2T\widehat BA=180°-2T\widehat CA$, pero $N\widehat CR+R\widehat CT+T\widehat CA=180°$, por lo tanto, $N\widehat CR=T\widehat CA=O\widehat CL=90°-O\widehat LC$, y como $CT$ es diámetro, resulta $C\widehat RN=90°=C\widehat OL$. Sea $D=AT\cap OL$, como $CT$ es diámetro, tenemos $T\widehat AD=90°$. De esto resulta que $ADOC$ es cíclico y que $L\widehat AC=90°\Rightarrow \triangle CRN\simeq \triangle DAL$. Sea $E$ en $RT$ tal que $CE\perp CN$, luego, $\triangle ECN\simeq \triangle CRN\simeq \triangle DAL\Rightarrow \frac{CN}{AL}=\frac{CE}{AD}$
Ahora, $O$ es el punto medio de $CT$ y $OD\perp CT$, de donde $OD$ es mediatriz de $CT$ y $D\widehat CT=D\widehat TC$. Además $A\widehat TR=R\widehat CN=A\widehat DL=A\widehat CO$. Luego $A\widehat OD=A\widehat CD=A\widehat CO-D\widehat CT=A\widehat TR-D\widehat TC=C\widehat TE$. Por otro lado, $C\widehat ET=180°-C\widehat EN=180°-(90°-C\widehat NR)=180°-(90°-A\widehat LD)=180°-A\widehat DL=A\widehat DO$. Entonces $\triangle ADO\simeq \triangle CET\Rightarrow \frac{CE}{AD}=\frac{CT}{AO}$. Como $CT$ es diámetro y $AO$ es radio, resulta $\frac{CN}{AL}=\frac{CE}{AD}=\frac{CT}{AO}=2$
Por lo tanto $CN=2AL$
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[math]

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