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Sea $ABC$ un triángulo rectángulo tal que $\widehat{C}=90^{\circ}$, $\widehat{A}=30^{\circ}$ y $AB=10$. Sea $D$ un punto interior al triángulo $ABC$ tal que $B\widehat{D}C=90^{\circ}$ y $A\widehat{C}D = D\widehat{B}A$. Sea $E$ el punto de intersección de la hipotenusa $AB$ y la recta $CD$.
Calcular la medida del segmento $AE$.

Me dio 5.

mmnn escribió: ↑Jue 28 Jun, 2018 6:42 pmMe dio 5.

A mí también! ¿Cómo lo pensaste?

Matías V5 escribió: ↑Jue 28 Jun, 2018 7:53 pm

mmnn escribió: ↑Jue 28 Jun, 2018 6:42 pmMe dio 5.

A mí también! ¿Cómo lo pensaste?

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Por suma de angulos interiores B=60°
Usando el triangulo rectangulo ABC hice:
sen 30°=x/10
5=x
Por lo tanto BC=5
Luego nombre a los angulos ACD=DBA= y. Y con el cuadrilatero ABDC:
2y+270°+30°=360°
y=30°
Con eso me di cuenta de que EBC era equilatero y EB=5.
Al ser EB=5, AE= 5.

Mi solución sin usar trigonometría

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El ángulo CBA mide 60° por suma de ángulos interiores del triángulo ABC:

CBA=180°-BCA-CAB
CBA=180°-90°-30°
CBA=60°

Entonces el triángulo rectángulo ABC es también medio equilátero, por lo que la hipotenusa AB es el doble de el cateto menor BC:
2BC=AB
BC=10/2
BC=5


Sabemos que los ángulos ABD y ACD son iguales, por lo que lo llamamos con el nombre (x). Entonces podemos decir que, siendo los ángulos EDB=90°=DBC+DCB (porque es un ángulo exterior adyacente del triángulo CBD), DBC=60°-x y DCB=90-x:

90°=90°-x+60°-x
90°-90°-60°=-2x
-60°=-2x
x=-60°/(-2)
x=30°


Sí x=30°:

BCD=90°-x
BCD=90°-30°
BCD=60°


Por suma de ángulos interiores del triángulo BDE:

BED=180°-x-BDE
BED=180°-30°-90°
BED=60°


Por lo que el triángulo BCE es equilátero.

CB=EB=EC=5

AE=AB-BE
AE=10-5
AE=5


Además, ésto se puede comprobar de otra forma. El triángulo AEC es isósceles debido a que BAC=30°=ACE=x. Entonces CE=5=AE