Ibero 2008 - P2

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 26 Jun, 2018 1:35 pm

En un triángulo $ABC$ sea $r$ la bisectriz exterior de $A\widehat BC$. Los puntos $P$ y $Q$ son los pies de las perpendiculares desde $A$ y $C$ a $r$, respectivamente. La recta $CP$ corta a la recta $AB$ en $M$ y la recta $AQ$ corta a la recta $BC$ en $N$. Demostrar que las rectas $AC$, $MN$ y $r$ son concurrentes.
[math]

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Re: Ibero 2008 - P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 26 Jun, 2018 2:36 pm

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Sea $D$ el pie de la bisetriz de $A\widehat BC$, luego $BD\perp PQ$. Sean $F=AN\cap CM$ y $G=PQ\cap AC$
Por ángulos entre paralelas y bisectriz tenemos $P\widehat AB=A\widehat BD=D\widehat BC=Q\widehat CB$ y como $A\widehat PB=90°=C\widehat QB$ resulta que $\triangle ABP\simeq \triangle CBQ\Rightarrow \frac{QB}{BP}=\frac{QC}{AP}$ y por Thales $\frac{QC}{AP}=\frac{QF}{FA}$. Luego, $\frac{QB}{BP}=\frac{QF}{FA}$ y por Thales $BF\parallel AP\perp PQ$
Por lo tanto $B,F,D$ son colineales y $AN,BD,CM$ concurren en $F$
Por Ceva $\frac{AD}{DC}\frac{CN}{NB}\frac{BM}{MA}=1$, como $\{G,D,A,C\}$ es una cuaterna armónica entonces $\frac{AG}{GC}=-\frac{AD}{DC}$, luego $\frac{AG}{GC}\frac{CN}{NB}\frac{BM}{MA}=-1$ y por Menelao $G,M,N$ están alineados
Finalmente $AC,MN,PQ$ concurren en $G$
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[math]

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